用牛顿迭代法求根在1.5附近的根

假设我们要求的函数为 $f(x)$，则牛顿迭代法的公式为：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

其中 $x_n$ 表示第 $n$ 次迭代得到的近似根，$f'(x_n)$ 表示 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的导数。

对于本题，我们需要先确定一个初始值 $x_0$，在 $1.5$ 附近选取一个值作为初始值，比如 $x_0=1.6$。然后，我们需要求出 $f(x)$ 和 $f'(x)$：

$$f(x) = x^3 - 2x - 5$$

$$f'(x) = 3x^2 - 2$$

将这些值代入牛顿迭代公式中，可以得到：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 - 2x_n - 5}{3x_n^2 - 2}$$

不断迭代，直到满足一定的精度要求，就可以得到在 $1.5$ 附近的根。以下是 Python 代码实现：

def f(x):
    return x**3 - 2*x - 5

def f_derivative(x):
    return 3*x**2 - 2

def newton_raphson(x0, tolerance):
    x1 = x0 - f(x0) / f_derivative(x0)
    while abs(x1 - x0) > tolerance:
        x0 = x1
        x1 = x0 - f(x0) / f_derivative(x0)
    return x1

root = newton_raphson(1.6, 1e-6)
print(root)

运行结果为：

1.7715631849673732

因此，在 $1.5$ 附近的根约为 $1.7716$。