(1-cos(2t))/2t^2怎么积分
时间: 2024-05-20 09:12:22 浏览: 14
可以使用换元法解决这个积分。
令u=2t,那么du/dt=2,即dt=du/2。
将u代入原积分式得到:
∫(1-cos(2t))/2t^2 dt = (1/2)∫(1-cos(u))/u^2 du
再将(1-cos(u))展开得到:
(1/2)∫(1-cos(u))/u^2 du = (1/2)∫(1/u^2 - cos(u)/u^2) du
对于第一项,可以直接积分得到:
∫(1/u^2) du = -1/u + C1
对于第二项,可以使用分部积分法,令u=cos(u),dv=du/u^2,则du=-sin(u)du,v=1/u。
∫(cos(u)/u^2) du = -cos(u)/u + ∫(sin(u)/u) du
再次使用分部积分法,令u=sin(u),dv=du/u,则du=cos(u)du,v=ln(u)。
∫(sin(u)/u) du = ln(u)sin(u) - ∫(cos(u)ln(u)) du
将上述结果代入原式中,得到:
(1/2)∫(1/u^2 - cos(u)/u^2) du = -1/(2u) + (1/2)(ln(u)sin(u) - ∫(cos(u)ln(u)) du)
将u=2t代回原式中,得到:
∫(1-cos(2t))/2t^2 dt = -1/(4t) + (1/4)(ln(2t)sin(2t) - ∫(cos(2t)ln(2t)) dt) + C
其中C为积分常数。
相关问题
(1-cos(2t))/2(t^2)怎么积分
要积分 (1-cos(2t))/2(t^2),可以使用代换法来解决。
设 u = 2t,那么 du/dt = 2,即 dt = 1/2 du。
将代换 u = 2t 代入原式中,得到:
∫(1-cos(2t))/2(t^2) dt = ∫(1-cos(u))/(4t^2) du
= (1/4) ∫(1-cos(u))/t^2 du
接下来,我们可以使用分部积分法。
设 f = (1-cos(u)),g' = 1/t^2,那么 f' = sin(u),g = -1/t。
根据分部积分公式,得到:
∫(1-cos(u))/t^2 du = -f/t - ∫f'g du
= -(1-cos(u))/t + ∫sin(u)/t^3 du
= -(1-cos(2t))/(2t) - (1/4)cos(2t)/t^2 + C
其中,C 是积分常数。
因此,原式的积分结果为 -(1-cos(2t))/(2t) - (1/4)cos(2t)/t^2 + C。
当t->0时,(2cos2t-sint)/(sin2t+cost)求解
使用极限的方法,将t逐渐趋近于0,即可求解。
当t趋近于0时,sin2t和2t的比值趋近于2,cos2t和1的比值趋近于1。
因此,(2cos2t-sint)/(sin2t cost)可以近似为:
(2×1-0)/(2×1×1) = 1
因此,当t趋近于0时,(2cos2t-sint)/(sin2t cost)的解为1。
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