三角形三个顶点为(0,0),(3,0),(3,2),按三角形正向边界路径算出这三条边的曲线积分∫(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy
时间: 2024-02-12 07:07:24 浏览: 59
好的,根据题意,三角形的三个顶点为(0,0),(3,0),(3,2),我们可以画出如下的图形:
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(0,0)--------------(3,0)
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(0,2)--------------(3,2)
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我们可以按照三角形的边界路径依次计算三条线段的曲线积分。
第一条线段为从(0,0)到(3,0),其方程为y=0,dx=dt,dy=0,因此:
∫(0,3) (2x-0+4)dx + (5×0+3x-6)×0 dt = ∫(0,3) (2x+4)dx = [x^2+4x]_0^3 = 21
第二条线段为从(3,0)到(3,2),其方程为x=3,dx=0,dy=dt,因此:
∫(0,2) (2×3-y+4)×0 + (5y+3×3-6)dy = ∫(0,2) (5y+3)dy = [5y^2/2+3y]_0^2 = 19
第三条线段为从(3,2)到(0,0),其方程为y=-x+2,dx=-dt,dy=dt,因此:
∫(2,0) (2x-(-x+2)+4)(-1)dx + (5(-x+2)+3x-6)dt = ∫(2,0) (7-3x)dx = [7x-x^2/2]_2^0 = -11
因此,三角形三条边的曲线积分分别为:
- 第一条边从(0,0)到(3,0):∫(0,3) (2x+4)dx = [x^2+4x]_0^3 = 21
- 第二条边从(3,0)到(3,2):∫(0,2) (5y+3)dy = [5y^2/2+3y]_0^2 = 19
- 第三条边从(3,2)到(0,0):∫(2,0) (7-3x)dx = [7x-x^2/2]_2^0 = -11
因此,三角形三条边的曲线积分分别为21、19和-11。