帮我求f(x)=x*log(cosx)的maclaurin展式，要有详细过程

好的，我们来求解f(x)=x*log(cosx)的Maclaurin展式。

首先，我们需要求出函数f(x)在0处的各阶导数。根据对数函数和余弦函数的导数公式，不难得到：

f(x) = x * log(cosx)
f'(x) = log(cosx) - x * tanx
f''(x) = -2tanx - x * sec^2x
f'''(x) = -2sec^2x - 2xtanxsec^2x - 2xsec^4x
f''''(x) = -8xsec^4x - 12xtanxsec^4x - 8xsec^6x

接下来，我们将这些导数代入Maclaurin展式的公式中：

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + f''''(0)x^4/4! + ...

因为f(0) = 0，所以展式的第一项为0。将上面求得的导数代入公式中，得到：

f(x) = x * log(cosx) = - x^2/2 - x^4/12 - 17x^6/720 - 31x^8/10080 - ...

因此，x*log(cosx)的Maclaurin展式为：

-x^2/2 - x^4/12 - 17x^6/720 - 31x^8/10080 - ...

这就是函数f(x)=x*log(cosx)的Maclaurin展式。

相关问题

帮我求f(x)=x*log(cosx)的maclaurin展式，要有详细过程和通项公式，

可以使用Maclaurin级数求解函数f(x)=x*log(cosx)的展开式。

首先，我们需要求出函数f(x)在x=0处的各阶导数。利用对数函数和余弦函数的导数公式，可以得到：

f(x) = x * log(cosx)
f'(x) = log(cosx) - x * tanx
f''(x) = -2tanx - x * sec^2x
f'''(x) = -2sec^2x - 2xtanxsec^2x - 2xsec^4x
f''''(x) = -8xsec^4x - 12xtanxsec^4x - 8xsec^6x

然后，我们可以将这些导数代入Maclaurin级数的公式中：

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + f''''(0)x^4/4! + ...

根据上面求出的导数，可以得到：

f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = -1/2
f'''(0) = 0
f''''(0) = 5/24

因此，我们可以得到函数f(x)的Maclaurin级数：

f(x) = -x^2/2 + 5x^4/24 - 61x^6/720 + ...

通项公式为：

(-1)^(n+1) * x^(2n) / (2n * (2n-1)!)

其中，n为非负整数，代入n的值即可求出对应项的系数。

综上所述，函数f(x)=x*log(cosx)的Maclaurin展式为：

f(x) = -x^2/2 + 5x^4/24 - 61x^6/720 + ... + (-1)^(n+1) * x^(2n) / (2n * (2n-1)!) + ...

其中，第2023项的系数为 x^4044 / (2 * 8085!)。

帮我求f(x)=x*log(cosx)的maclaurin展式

好的，首先我们需要求出$f(x)$在 $x=0$ 处的各阶导数，然后代入Maclaurin公式中即可得到展式。

$$f(x) = x\cdot\log(\cos x)$$

首先求导数：

$$\begin{aligned}f'(x) &= \log(\cos x) - x\tan x\\ f''(x) &= -\sin x\sec^2x - \tan x - x\sec^2x\\ f'''(x) &= -\cos x\sec^4x - 3\sec^2x - 2x\sec^4x\\ f^{(4)}(x) &= \sin x \cdot (5\sec^6x + 6\tan^2x\sec^4x + \sec^4x + 4x\tan x\sec^6x) \end{aligned}$$

由此可以看出，$f(x)$的奇数阶导数在 $x=0$ 处均为 $0$，因此只需考虑 $f(x)$ 的偶数阶导数。将前 $4$ 阶导数代入Maclaurin公式：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}$$

代入可得：

$$\begin{aligned} f(x) &= x^2\cdot \frac{-1}{2!} + x^4\cdot \frac{-1}{4!} - x^6\cdot\frac{1}{6!} - x^8\cdot\frac{3}{8!} + \cdots\\ &= -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots \end{aligned}$$

因此，$f(x)$的Maclaurin展式为：

$$f(x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots$$

希望能够对你有所帮助。