什么情况不能等价无穷小
时间: 2023-05-27 20:06:58 浏览: 203
当两个无穷小在一个极限中具有不同的阶时,它们就不能等价。例如,$\sin x$和$x$在$x$趋近于0时都是无穷小,但是它们的阶不同,因为$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$,因此它们不能等价。另外,当两个无穷小的比值在一个极限中趋向于一个有限值时,它们也不能等价。例如,$x$和$x+\sin x$在$x$趋近于0时都是无穷小,但是它们的比值$\frac{x+\sin x}{x}=1+\frac{\sin x}{x}$在$x$趋近于0时趋向于2,因此它们也不能等价。
相关问题
arcsinx为什么和sinx等价无穷小
当$x$趋近于$0$时,$\arcsin(x)$和$\sin(x)$是等价无穷小。这是因为:
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{\sin(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{\cos(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\cos(x)\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{1}=1$
根据等价无穷小的定义,如果两个函数的比值的极限为$1$,那么它们在零点的极限是等价的。因此,$\arcsin(x)$和$\sin(x)$是等价的无穷小。
什么时候用等价无穷小,什么时候用泰勒
等价无穷小法和泰勒展开法都是数值计算中常用的方法,但它们的使用条件和适用范围略有不同。
等价无穷小法通常用于求解一些复杂函数在某个特定点附近的近似值。这种方法适用于那些在特定点处具有连续导数的函数,例如,多项式函数或指数函数等。该方法的优点在于它可以提供比泰勒展开更简单的近似公式,并且往往更加精确,特别是在高阶多项式的情况下。
泰勒展开法则通常用于求解一些函数在某个特定点附近的近似值,尤其是当函数的导数在该点处非常复杂或不方便计算时,例如三角函数或对数函数等。该方法的优点在于它可以提供非常精确的近似值,并且可以通过逐步增加阶数来提高计算精度。然而,该方法的缺点在于它往往需要计算大量的导数,这可能会导致计算复杂度的增加。
因此,选择使用等价无穷小法还是泰勒展开法,取决于具体问题的性质和所需要的精度。一般来说,对于简单的函数,等价无穷小法更为适用,而对于复杂的函数,泰勒展开法更为适用。
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