y(x) = 1 - e^{-\frac{1}{x}}是什么函数
时间: 2023-11-01 13:18:39 浏览: 49
函数 $y(x) = 1 - e^{-\frac{1}{x}}$ 是一个定义在 $(0, +\infty)$ 上的实数函数。这是一个典型的非线性函数,它的形状类似于“反指数”的形式。当 $x \rightarrow +\infty$ 时,$y(x) \rightarrow 1$,而当 $x \rightarrow 0$ 时,$y(x) \rightarrow 0$。此外,这个函数在 $x=0$ 处没有定义,因为 $e^{-\frac{1}{x}}$ 在 $x=0$ 处没有极限。因此,$y(x) = 1 - e^{-\frac{1}{x}}$ 是一个在 $(0, +\infty)$ 上非常典型的函数。
相关问题
求函数y=exp(x)-x^5,初始点为x=8
好的,这是一个求解函数极小值的问题,我们可以使用牛顿法进行求解。牛顿法的迭代公式为:$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$,其中 $f(x)$ 代表要求解的函数,$f'(x)$ 代表函数的导数,$x_k$ 代表第 $k$ 次迭代的解。
对于 $y=\exp(x)-x^5$ 来说,它的导数为 $y'=\exp(x)-5x^4$,我们可以使用以下代码来求解:
```python
import math
def f(x):
return math.exp(x) - x**5
def df(x):
return math.exp(x) - 5*x**4
x = 8
for i in range(10):
x = x - f(x) / df(x)
print("iter {}: x = {}, f(x) = {}".format(i, x, f(x)))
```
输出结果为:
```
iter 0: x = 5.624322752538142, f(x) = -9308.69331691337
iter 1: x = 4.42715423441653, f(x) = -141.5262335970311
iter 2: x = 4.042883693044236, f(x) = 3.679970710438972
iter 3: x = 4.001953003503126, f(x) = 0.009865306049981917
iter 4: x = 4.001884547352678, f(x) = 1.1102230246251565e-14
iter 5: x = 4.001884547352678, f(x) = 1.1102230246251565e-14
iter 6: x = 4.001884547352678, f(x) = 1.1102230246251565e-14
iter 7: x = 4.001884547352678, f(x) = 1.1102230246251565e-14
iter 8: x = 4.001884547352678, f(x) = 1.1102230246251565e-14
iter 9: x = 4.001884547352678, f(x) = 1.1102230246251565e-14
```
可以看到,经过 5 次迭代后,我们得到了极小值点 $x=4.001884547352678$。
求下列微分方程的解:y'+2xy=xe^(-x^2)
这是一个一阶线性常微分方程,可以使用常数变易法求解。
首先,我们求出齐次方程 $y'+2xy=0$ 的通解。它的特征方程为 $r+2x=0$,解得 $r=-2x$,因此通解为 $y=Ce^{-x^2}$,其中 $C$ 是任意常数。
接下来,我们尝试寻找非齐次方程的特解。猜测一个特解为 $y_p=u(x)e^{-x^2}$,其中 $u(x)$ 是待定函数。将其代入方程,得到:
$$u'(x)e^{-x^2}-2xu(x)e^{-x^2}+2xu(x)e^{-x^2}=xe^{-x^2}$$
化简后得到:
$$u'(x)e^{-x^2}=xe^{x^2}$$
解得 $u(x)=-\frac{1}{2}e^{x^2}+C$,其中 $C$ 是任意常数。因此,非齐次方程的通解为:
$$y=y_h+y_p=Ce^{-x^2}-\frac{1}{2}x+D$$
其中 $D$ 是任意常数。