使用黄金分割法求函数f(x)=x²-x+2在区间[-1, 3]上的极小点。要求区 间长度不大于原始区间长度的0. 355倍。用数学方法表示
时间: 2024-04-02 15:34:03 浏览: 25
好的,按照黄金分割法的步骤,我们可以用数学方法表示。假设当前区间为[a, b],黄金分割点为x1和x2,则:
- x1 = a + 0.382(b-a)
- x2 = b - 0.382(b-a)
接下来,我们需要选择较小值所对应的区间作为下一次迭代的区间。假设f(x1) < f(x2),则下一次迭代的区间为[a, x2];否则为[x1, b]。即:
- [a1, b1] = [a, x2] (if f(x1) < f(x2))
- [a1, b1] = [x1, b] (otherwise)
重复以上步骤,直到达到迭代次数n或区间长度小于等于原始区间长度的0.355倍。最后得到的区间的中点即为函数在该区间上的极小点。
在这个例子中,我们可以先将区间[−1,3]均分成两个子区间,即[−1,1]和[1,3]。然后,我们可以分别对这两个子区间运用黄金分割法,直到满足精度要求。最后,我们可以比较两个子区间的极小点,选择较小值所在的区间作为整个区间的极小点。
下面是数学表示的黄金分割法算法:
1. 初始化区间[a,b]为[-1,3],迭代次数n为 ceil(log(3/ε)/log(1.618)),其中ceil表示向上取整;
2. 根据黄金分割法计算黄金分割点x1和x2;
3. 计算函数在x1和x2处的值f(x1)和f(x2),并选择较小值所对应的区间作为下一次迭代的区间;
4. 重复步骤2和3,直到达到迭代次数n或区间长度小于等于原始区间长度的0.355倍;
5. 最后得到的区间的中点即为函数在该区间上的极小点。
其中,迭代次数n可以通过以下公式计算:
n = ceil(log(3/ε)/log(1.618))
黄金分割点x1和x2可以通过以下公式计算:
x1 = a + 0.382(b-a)
x2 = b - 0.382(b-a)
函数在x1和x2处的值f(x1)和f(x2)可以通过函数f(x)计算得出。
最后得到的区间的中点可以通过以下公式计算:
x = (a+b)/2
这样,我们就用数学方法表示了使用黄金分割法求函数f(x)=x²-x+2在区间[-1, 3]上的极小点的算法。
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