matlab化二次型为规范型(选做)----程序设计思路 理论指导：矩阵的合同变换法； 思路：标准递归V字循环，每一次根据不同的情况采取不同的方案来降阶。 在过程中，我们只需要把最底层到最上层的变换矩阵逐个补全相乘就能得到T矩阵。不用特征值

分解法。

具体步骤如下：

1. 输入二次型阵A和n为矩阵的维数。

2. 构造一个对称正定矩阵B，使得B^-1*A*B=λ1*x1^2+λ2*x2^2+...+λn*xn^2（其中λi为特征值，xi为特征向量）。

3. 对B进行合同变换，把B变成对角矩阵D。同时，将每次变换的矩阵P存入一个数组中，最后将数组中的所有矩阵相乘得到最终的变换矩阵T。

4. 由于合同变换不改变矩阵的秩，因此可以把D中特征值为0的部分移到最后，从而得到规范型。

代码实现：

% 输入二次型矩阵A和n为矩阵的维数
A = input('请输入二次型矩阵A：');
n = size(A, 1);

% 构造对称正定矩阵B
B = eye(n);
for i = 1:n
    B(i, i) = A(i, i);
    for j = i+1:n
        B(i, j) = A(i, j)/sqrt(A(i, i)*A(j, j));
        B(j, i) = B(i, j);
    end
end

% 对B进行合同变换，得到对角矩阵D
D = B;
P = cell(n-1, 1);
for k = 1:n-1
    % 找到最大的非对角元素
    maxVal = 0;
    row = 0;
    col = 0;
    for i = k:n
        for j = k:n
            if i ~= j && abs(D(i, j)) > maxVal
                maxVal = abs(D(i, j));
                row = i;
                col = j;
            end
        end
    end
    
    % 如果最大的非对角元素为0，则跳过这次循环
    if maxVal == 0
        continue;
    end
    
    % 构造变换矩阵P
    Pk = eye(n);
    theta = 0.5*atan(2*D(row, col)/(D(row, row)-D(col, col)));
    Pk(row, row) = cos(theta);
    Pk(col, col) = cos(theta);
    Pk(row, col) = -sin(theta);
    Pk(col, row) = sin(theta);
    P{k} = Pk;
    
    % 更新D
    D = Pk'*D*Pk;
end

% 计算变换矩阵T
T = eye(n);
for i = 1:n-1
    T = T*P{i};
end

% 把D中特征值为0的部分移到最后，得到规范型
lambda = diag(D);
zeroIdx = find(lambda == 0);
nonzeroIdx = find(lambda ~= 0);
lambda = [lambda(nonzeroIdx); lambda(zeroIdx)];
T = T(:, [nonzeroIdx; zeroIdx]);

% 输出结果
fprintf('二次型矩阵A的规范型为：\n');
disp(T'*A*T);