设x是一个连续的非负随机变量,证明e(x)=定积分(1-fx(a))da
时间: 2023-10-07 22:02:43 浏览: 42
要证明这个等式,首先我们需要明确一些定义和性质。
设x是一个连续的非负随机变量,即x的取值范围为非负的实数。设Fx(x)为x的累积分布函数,即Fx(x) = P(X≤x)。而fx(x)为概率密度函数,即fx(x) = Fx'(x)。
我们知道,对于一个连续的随机变量x,其期望值E(x)可以表示为:
E(x) = ∫xfx(x)dx ......(1)
我们要证明的等式是:
E(x) = ∫(1 - Fx(a))da ......(2)
下面来证明这个等式。
对式子(1)两边进行积分运算得到:
∫E(x)dx = ∫∫xfx(x)dxdx
由于x是非负的,所以可以将第一个积分的上限设为x,从0到无穷大进行积分。同时注意到,对于每一个x,我们可以将第二个积分的上限设为x,从0到x进行积分。
∫E(x)dx = ∫∫xfx(x)dxdx
= ∫[∫xfx(x)dx]dx
= ∫[∫x[∫fx(x)dxdx]dx
= ∫[∫xFx(x)dx]dx
将上述结果表示为定积分形式:
∫E(x)dx = ∫[∫xFx(x)dx]dx
= ∫[∫(1 - (1 - F(x)))xdx]dx
= ∫[∫(1 - (1 - F(x)))dx]dx
= ∫[∫(1 - F(x))dx]dx
将右边的积分进行运算:
∫[∫(1 - F(x))dx]dx = ∫[x - ∫F(x)dx]dx
= ∫x - ∫(Fx(x))dx]dx
= ∫x - [Fx(x)]dx]dx
= ∫x - xdx
= ∫0dx
= 0
所以,我们得到:
∫E(x)dx = 0
由于这个等式对于所有的非负连续随机变量x都成立,所以我们可以得出:
E(x) = ∫(1 - Fx(a))da
证毕。
这个证明说明了期望值可以通过求累积分布函数的定积分来计算,这个定积分涵盖了随机变量的概率分布,可以准确地表示出期望值。