随机变量x的分布密度为 f(x)=2√1-x² -1＜x＜1 f（x）=0 其他 用matlab 2016a版本求x的期望和方差

根据所给的概率密度函数 f(x)，可以得到随机变量 x 的分布为区间 [-1, 1] 上的半圆形分布。根据定义，随机变量 x 的期望和方差可以通过积分的方式进行求解。

以下是 Matlab 代码：

syms x; % 定义符号变量 x
f = @(x) 2*sqrt(1-x^2); % 定义概率密度函数
E = double(integral(@(x) x*f(x),-1,1)); % 计算期望
V = double(integral(@(x) (x-E).^2*f(x),-1,1)); % 计算方差

其中，`integral` 函数用于计算定积分，`double` 函数用于将符号表达式转换为数值。最终的期望和方差值分别保存在变量 `E` 和 `V` 中。

需要注意的是，这里的计算结果只是数值近似值，可能存在一定的误差。如果需要更高精确度的计算，可以考虑使用符号计算工具箱中的函数。

相关问题

2.（20分） （1）离散型随机变量X服从下述概率质量函数 X 0 1 2 3 P 0.1 0.4 0.2 0.3 利用逆变换法生成服从上述分布的1000个随机数，并用table函数统计所生成随机数的频 率。（10分） （2）分布Beta(3,2）的概率密度函数为 f(x)=12x²(1-x), 0<x<1. 利用接受-拒绝方法生成1000个服从该分布的随机数，并画出所生成随机数的直方图，以 及真实的概率密度函数曲线。（10分）

答：（1）利用逆变换法生成服从上述分布的1000个随机数，可以使用随机数发生器从[0,1]的均匀分布中生成1000个均匀分布的随机数，然后将这1000个随机数通过概率质量函数映射到X的离散空间中，生成1000个服从上述分布的随机数。把这1000个随机数放入表格中，可以用table函数统计出每个随机数出现的频率，从而验证它们是否服从上述分布。（2）利用接受-拒绝方法生成1000个服从该分布的随机数，可以使用已知的一个概率密度函数g(x)，它的曲线与分布Beta(3,2)的概率密度函数曲线f(x)越接近越好，然后按照接受-拒绝方法的步骤，从g(x)中生成1000个服从该分布的随机数。最后将这1000个随机数放入表格中，画出所生成随机数的直方图，以及真实的概率密度函数曲线，以验证它们是否符合预期。

令r是BPSK的接收信号矢量，且 r=±√ε+n，n是均值为0，方差为N0/2的高斯随机变量. 假设先验概率相等，试推导得到最大似然判决的最 佳判决门限.

根据最大似然准则，接收信号r应当判定为哪个符号取决于哪个符号的条件概率密度函数在该接收信号下的取值更大。因此，对于BPSK，有：

P(r|s=+√ε) = (1/√(2πN0))exp(-(r-√ε)²/(2N0))
P(r|s=-√ε) = (1/√(2πN0))exp(-(r+√ε)²/(2N0))

为了方便计算，我们可以对上述两个概率密度函数取对数：

ln(P(r|s=+√ε)) = -(r-√ε)²/(2N0) - 0.5ln(2πN0)
ln(P(r|s=-√ε)) = -(r+√ε)²/(2N0) - 0.5ln(2πN0)

因为先验概率相等，所以最大似然判决可以表示为：

r > θ，判定为 s=+√ε
r < -θ，判定为 s=-√ε

其中，θ为一个门限值。为了使判决正确率最大，我们需要让两个判决错误的概率相等，即：

P(r < -θ|s=+√ε) = P(r > θ|s=-√ε)

根据贝叶斯公式，有：

P(r < -θ|s=+√ε) = P(s=+√ε|r < -θ) / P(r < -θ)
P(r > θ|s=-√ε) = P(s=-√ε|r > θ) / P(r > θ)

将上述两个式子代入判决错误概率相等的条件中，得到：

P(s=+√ε|r < -θ) / P(r < -θ) = P(s=-√ε|r > θ) / P(r > θ)

根据贝叶斯公式，有：

P(s=+√ε|r < -θ) = P(r < -θ|s=+√ε)P(s=+√ε) / P(r < -θ)
P(s=-√ε|r > θ) = P(r > θ|s=-√ε)P(s=-√ε) / P(r > θ)

将上述两个式子代入判决错误概率相等的条件中，得到：

P(r < -θ|s=+√ε)P(s=+√ε) / P(r < -θ) = P(r > θ|s=-√ε)P(s=-√ε) / P(r > θ)

将P(r < -θ|s=+√ε)和P(r > θ|s=-√ε)带入上式中，整理得到：

exp(-θ²/(2N0)) = exp(-θ²/(2N0))，即 θ = √(2N0 ln2)

因此，最佳判决门限为 θ = √(2N0 ln2)。