时间序列数据的特征工程在 LSTM 模型中的应用

# 1. 时间序列数据的特征工程概述

时间序列数据是指按时间顺序排列的数据，具有时间依赖性和趋势性等特点。特征工程是机器学习中至关重要的一步，它可以从原始数据中提取有价值的信息，为后续建模提供基础。对于时间序列数据，特征工程主要包括特征提取和特征选择两个方面。

# 2. 时间序列数据的特征提取

时间序列数据是一种随着时间变化而收集的数据，具有时序性和相关性的特点。特征提取是机器学习和数据挖掘中至关重要的步骤，它可以从原始数据中提取出有用的信息，用于后续的建模和分析。针对时间序列数据，特征提取可以分为时域特征、频域特征和其他特征提取方法。

### 2.1 时域特征

时域特征是直接从时间序列数据本身中提取的特征，反映了数据的时序变化。

#### 2.1.1 平均值、方差和标准差

* **平均值：**时间序列数据的平均值反映了数据的中心趋势。它可以衡量数据的整体水平。
* **方差：**时间序列数据的方差反映了数据的离散程度。它可以衡量数据的波动性。
* **标准差：**标准差是方差的平方根，它表示数据的离散程度相对于平均值的倍数。

#### 2.1.2 自相关和互相关

* **自相关：**自相关函数衡量时间序列数据中不同时间点之间的相关性。它可以揭示数据中的周期性或趋势。
* **互相关：**互相关函数衡量两个时间序列数据之间的相关性。它可以用于发现两个序列之间的关系和依赖性。

#### 2.1.3 趋势和季节性分解

* **趋势：**趋势是时间序列数据中长期变化的趋势。它可以反映数据的整体增长或下降趋势。
* **季节性：**季节性是时间序列数据中周期性变化的模式。它可以反映数据中一年或一天中的重复性变化。

### 2.2 频域特征

频域特征是通过将时间序列数据转换为频域来提取的特征，反映了数据的频率分布。

#### 2.2.1 傅里叶变换和频谱分析

* **傅里叶变换：**傅里叶变换将时间序列数据转换为频域，将信号分解成不同频率的正弦波。
* **频谱分析：**频谱分析是傅里叶变换的结果，它显示了不同频率的幅度和相位。

#### 2.2.2 小波变换

* **小波变换：**小波变换是一种时频分析技术，它可以在不同时间尺度上分析信号。它可以揭示信号中不同频率和时间上的局部特征。

#### 2.2.3 离散余弦变换

* **离散余弦变换：**离散余弦变换是一种正交变换，它将时间序列数据转换为一组正交基函数。它可以用于提取数据中的趋势和季节性特征。

### 2.3 其他特征提取方法

除了时域和频域特征外，还有其他特征提取方法可以用于时间序列数据。

#### 2.3.1 统计特征

* **极值：**时间序列数据的极值可以反映数据中的异常值或尖峰。
* **斜率：**时间序列数据的斜率可以反映数据的变化率。
* **拐点：**时间序列数据的拐点可以反映数据的趋势变化。

#### 2.3.2 信息论特征

* **熵：**时间序列数据的熵反映了数据的无序程度。它可以衡量数据的复杂性和可预测性。
* **互信息：**时间序列数据中不同时间点之间的互信息可以反映数据的依赖性。

#### 2.3.3 复杂性特征

* **分形维数：**时间序列数据的分形维数反映了数据的复杂性和自相似性。
* **混沌指标：**时间序列数据的混沌指标可以反映数据的非线性性和不可预测性。

# 3. 时间序列数据的特征选择

特征选择是机器学习中的一个重要步骤，它可以帮助我们从大量特征中选择出最相关的特征，从而提高模型的性能和可解释性。对于时间序列数据，特征选择尤其重要，因为时间序列数据通常具有高维性和冗余性。

### 3.1 过滤式特征选择

过滤式特征选择是一种简单而高效的特征选择方法。它根据特征的统计属性（如方差、信息增益、卡方检验等）对特征进行评分，然后选择得分最高的特征。

#### 3.1.1 方差过滤

方差过滤是一种最简单的过滤式特征选择方法。它计算每个特征的方差，并选择方差最大的特征。方差大的特征表示该特征具有较大的变化性，因此可能包含有用的信息。

import numpy as np

def variance_filter(X):
  """
  方差过滤特征选择

  参数：
    X: 特征矩阵

  返回：
    得分最高的特征索引
  """
  variances = np.var(X, axis=0)
  return np.argsort(variances)[::-1]

#### 3.1.2 信息增益

信息增益衡量了一个特征对目标变量的预测能力。它计算了在给定特征值的情况下目标变量熵的减少量。信息增益高的特征表示该特征可以有效地区分不同的目标变量值。

import numpy as np
from scipy.stats import entropy

def information_gain(X, y):
  """
  信息增益特征选择

  参数：
    X: 特征矩阵
    y: 目标变量

  返回：
    得分最高的特征索引
  """
  scores = []
  for i in range(X.shape[1]):
    feature_values = np.unique(X[:, i])
    entropy_before = entropy(y)
    entropy_after = 0
    for value in feature_values:
      y_subset = y[X[:, i] == value]
      entropy_after += (len(y_subset) / len(y)) * entropy(y_subset)
    scores.append(entropy_before - entropy_after)
  return np.argsort(scores)[::-1]

#### 3.1.3 卡方检验

卡方检验是一种统计检验，用于测试两个变量之间是否存在关联。它计算了观测频率和期望频率之间的差异，并将其转化为卡方统计量。卡方统计量大的特征表示该特征与目标变量之间存在强关联。

from scipy.stats import chi2_contingency

def chi_square_test(X, y):
  """
  卡方检验特征选择

  参数：
    X: 特征矩阵
    y: 目标变量

  返回：
    得分最高的特征索引
  """
  scores = []
  for i in range(X.shape[1]):
    contingency_table = np.zeros((np.unique(X[:, i]).shape[0], np.unique(y).shape[0]))
    for j in range(X.shape[0]):
      contingency_table[np.where(X[:, i] == X[j, i])[0][0], np.where(y == y[j])[0][0]] += 1
    chi_square, p, dof, expected = chi2_contingency(contingency_table)
    scores.append(chi_square)
  return np.argsort(scores)[::-1]

### 3.2 包裹式特征选择

包裹式特征选择是一种更复杂但更准确的特征选择方法。它将特征选择过程嵌入到机器学习模型的训练中，并根据模型的性能对特征进行评分。

#### 3.2.1 递归特征消除

递归特征消除是一种包裹式特征选择方法，它通过迭代地训练机器学习模型并移除对模型性能影响最小的特征来选择特征。

from sklearn.feature_selection import RFE
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

def rfe(X, y):
  """
  递归特征消除特征选择

  参数：
    X: 特征矩阵
    y: 目标变量

  返回：
    得分最高的特征索引
  """
  model = LogisticRegression()
  rfe = RFE(model, n_features_to_select=10)
  rfe.fit(X, y)
  return np.argsort(rfe.ranking_)[::-1]

#### 3.2.2 嵌入式特征选择

嵌入式特征选择是一种特征选择方法，它将特征选择过程嵌入到机器学习模型的训练中，并根据模型的权重或系数对特征进行评分。

from sklearn.linear_model import L