泊松分布随机数生成：模拟现实世界的事件

# 1. 泊松分布简介

泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在给定时间或空间间隔内发生特定事件的次数。泊松分布广泛应用于各种领域，包括建模顾客到达、故障间隔时间和放射性衰变。

泊松分布的参数是 λ，它表示单位时间或空间间隔内事件发生的平均次数。泊松分布的概率质量函数为：

P(X = k) = (λ^k * e^-λ) / k!

其中，k 是事件发生的次数。

# 2. 泊松分布随机数生成方法

泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间间隔内发生事件的次数。生成泊松分布随机数对于模拟和建模现实世界中的各种现象至关重要。本章将介绍两种常用的泊松分布随机数生成方法：逆变换法和接受-拒绝法。

### 2.1 逆变换法

#### 2.1.1 原理介绍

逆变换法是一种基于泊松分布累积分布函数 (CDF) 的随机数生成方法。CDF 给出了在给定时间或空间间隔内发生特定次数事件的概率。

**CDF**：$$F(x) = \sum_{i=0}^{x} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}$$

其中，$\lambda$ 是泊松分布的参数，表示事件发生的平均速率。

逆变换法通过生成一个介于 0 和 1 之间的均匀分布随机数 $U$，然后使用 CDF 的逆函数 $F^{-1}(U)$ 来生成泊松分布随机数 $X$。

**逆函数**：$$F^{-1}(U) = \min\{x: F(x) \ge U \}$$

#### 2.1.2 实现步骤

1. 生成一个介于 0 和 1 之间的均匀分布随机数 $U$。
2. 使用 CDF 的逆函数 $F^{-1}(U)$ 计算泊松分布随机数 $X$。

### 2.2 接受-拒绝法

#### 2.2.1 原理介绍

接受-拒绝法是一种基于均匀分布和泊松分布的随机数生成方法。它通过生成一个均匀分布随机数 $U_1$ 和一个泊松分布随机数 $X$，然后根据一定条件来接受或拒绝 $X$。

**条件**：$$U_2 \le \frac{f(X)}{g(X)}$$

其中，$f(X)$ 是泊松分布的概率质量函数 (PMF)，$g(X)$ 是一个上界函数，满足 $g(X) \ge f(X)$。

#### 2.2.2 实现步骤

1. 生成一个均匀分布随机数 $U_1$。
2. 生成一个泊松分布随机数 $X$。
3. 生成一个均匀分布随机数 $U_2$。
4. 如果 $U_2 \le \frac{f(X)}{g(X)}$，则接受 $X$；否则，拒绝 $X$，并返回到步骤 2。

**代码块：**

import numpy as np

def poisson_inverse_transform(lambda_):
    """
    使用逆变换法生成泊松分布随机数。

    参数：
        lambda_: 泊松分布的参数，表示事件发生的平均速率。

    返回：
        一个泊松分布随机数。
    """
    u = np.random.uniform()
    cdf = lambda x: np.sum([lambda_**i * np.exp(-lambda_) / np.math.factorial(i) for i in range(x+1)])
    return min(range(len(cdf)), key=lambda x: cdf(x) >= u)

def poisson_acceptance_rejection(lambda_):
    """