Graham凸包算法详解：计算几何中的核心技巧与应用

Graham凸包算法是计算几何领域中的一种经典方法，用于寻找一组点的凸包，即这些点构成的最小凸多边形。在ACM竞赛中，它是一个常见的问题解决策略。该算法的核心步骤包括以下几个部分： 1. **求最下最左点（0点）**：算法首先确定一组点中的最下最左点，这通常是作为起点进行后续操作。 2. **极角排序**：基于0点，其余点按照极坐标的角度进行排序。这样可以确保处理过程中始终保持局部有序性。 3. **栈操作**：使用一个栈来辅助遍历过程。将0、1、2点依次入栈，然后从第3个点开始循环，每当遇到与栈顶两个点形成左转的情况（即三个点构成的凹角），就从栈顶弹出点，直至遇到非左转，将当前点入栈。 4. **结果判定**：当遍历完成后，栈内的点即构成了凸包的边界。这些点按照入栈的顺序，连接起来即可得到最小凸多边形。 在实现过程中，需要注意几个关键细节： - **精度控制**：使用double类型精确处理浮点数，通过设置一个较小的常数EPS（例如1e-6）来判断两点是否重合，这在处理计算几何问题时非常重要。 - **数据类型选择**：尽管输入通常为整点，但在处理过程中，可能需要进行浮点数计算，因此推荐使用double类型。 - **向量运算**：向量的加减乘法以及点积和叉积的计算是基础操作。点积表示两向量的投影乘积，而叉积在二维空间中是一个实数，代表向量之间的面积。 - **内外积的应用**：外积不仅反映了向量间的平行四边形面积，还能用于判断点的位置关系，如判断点在多边形内、线段相交等。非凸多边形的问题通常不能仅凭外积解决。 算法涉及的具体题目，如POJ系列中的1066、1654、1127等，都是计算几何的入门级任务，涵盖了线段相交、多边形面积计算、点位置判断等内容。同时，对直线的表示采用data structur，如struct line_t，以方便处理直线的方程或进行归一化处理。 Graham凸包算法是计算几何中的一个重要工具，掌握其原理和应用场景对于提高算法竞赛和实际工程中的问题解决能力非常有益。在实现时，注意精度控制和数据类型的选用，以及合理运用向量和几何性质，能帮助快速解决问题。