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--------工程科学与技术,国际期刊20(2017)80完整文章基于复数基(-1 + j)数制的离散傅里叶变换处理器Anidaphi Shadap,PrabirSaha印度梅加拉亚邦国家理工学院电子与通信工程系,邮编:793003阿提奇莱因福奥文章历史记录:接收日期:2016年2016年8月29日修订2016年8月29日接受2016年9月12日在线发布保留字:复数二进制数系统(CNBS)转换算法复数离散傅里叶变换(DFT)基整数A B S T R A C T复数基数(-1 + j)允许在不处理分治规则的情况下完成复数的算术运算,这提供了复数计算电路的显著速度改进。本文介绍了复数基(-1 + j)转换器的设计和硬件实现。广泛的模拟结果已被纳入和应用这种转换器实现离散傅立叶变换(DFT)处理器已提交。DFT处理器的功能已经在Xilinx ISE设计套件版本14.7中进行了验证,并通过Cadence中的Virtuoso平台计算了传播延迟和动态开关功耗等性能参数。提出的DFT处理器已通过转换,乘法和加法实现。在延迟和功耗方面的性能参数矩阵提供了一个显着的改进,比其他传统的DFT处理器的实现。©2016 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍早在1960年,D.E.Knuth借助于基数2j提出了四分之一虚数系统,并建立了一种独特的用0、1、2、3等数字集表示复数的方法[1]。1964年,W. Penny用基数-4表示复数[2],后来又扩展了他对基数(1+ j)的研究[3]。证明了复数可以用基数(1 + j)作为一个二进制串来处理。此外,该表示提供了类似的二进制加法规则,但有一些例外。到目前为止,大量的研究已经建立了十进制数到四分之一虚数的转换[1W.J. Gilbert[4]提出,每个复数都可以使用某些复数基(如(1 ± j),(1 j),2j等)以位置符号表示。稍后,T。Jamil等人在2000年提出了基于基数(1 + j)的转换算法[5]。除了转换算法外,工作还扩展到加、减、乘、除等算术运算的硬件实现[5*通讯作者。电子邮件地址:anidaphishadap@nitm.ac.in(A.Shadap),sahaprabir1@gmail.com(P. Saha)。由Karabuk大学负责进行同行审查然而,到目前为止,已经提出了用于基于复基数(1 + j)执行复数的算术运算的电路,但是用于从十进制数到复基数的表示的电路本文介绍了一种便于十进制转换为复数基(1 + j)的转换器的门级实现8-该转换器采用20位二进制输入,提供20位复基(1 + j)值。该转换器基于二进制数的除法方法设计,其中最后两位(从最低有效位(LSB)开始)在每次迭代中作为余数,其余位串被视为商。基本组件,如3:8解码器,全加器,半加器,多路复用器和压缩器[11]已被考虑组成转换器。实现的转换器已应用于实现离散傅立叶变换[12该DFT处理器通过变换、乘法和加法实现.报告的DFT处理器已与三种不同的方法进行了比较,如分布式算术(DA)[20],脉动阵列(SA)[19]和基于CORDIC[21]的实现。对该电路进行了门级实现,并对其进行了功能测试。此外,电路功能已通过Xilinx ISE设计套件版本验证14.7.通过Cadence中的8点DFT处理器的仿真结果http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2016.08.0202215-0986/©2016 Karabuk University.出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页:www.elsevier.com/locate/jestchA. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)8081~~--ð þÞ----X--8ðÞ已被测量为109 ns的传播延迟以及89 mW的动态功耗。此外,所提出的设计比DA快40%,比基于SA的实现快43分别2. 复二进制数系统(CBNS)一个复数一JB 可以用基数(1 + j)表示,使用类似于基数2表示的位置符号[2,5]。基数为(1 + j)的n位数可以用幂级数AjBan1-1jn-1an2-1jn-2... 2001年1月-1月1日11101等于-1,即(0001 0001 0001)11000000 × 11101 =-200。2.2. 复数到CBNS的转换算法对于虚数,我们简单地将2.1节中得到的正整数乘以11,11是以(-1+ j)为基数的j,111是以(-1 + j)为基数的(-j)即ð00010001 0001 1100 0000×11Þ¼ 000110011000001000000夸脱200日元和00010001 0001 1100 0000× 111000111011110- -2019年12月20日ð1Þ1000000夸脱-200焦耳其中系数an-1,an-2,.. .,a2、 a1、 a0是二进制位(0或1)。让我们考虑两个数字(基于基数(1 + j))1011和1100,它们的精确十进制值分别是2 + 3j和2。图示如下所示:1011<$1-1j<$3<$0-1j <$2<$1-1j <$1<$1-1j<$0 <$2<$3j1100<$1-1j31-1j20-1j10-1j0< $2复数基数的加法规则与二进制非常相似,但有一些例外。添加过程如表1所示。2.1.整数到CBNS的转换算法(正负)要将正整数表示为CBNS,请执行以下步骤:将整数转换为基数4表示。这可以通过连续的分割过程来实现。在数学上,步骤可以表示为3. 转换器的硬件实现本节描述了转换的硬件实现过程。转换器的设计流程如图1所示。转换器的输入被认为是8位字符串,它将被转换为复杂的基数。从图1,已经观察到8位二进制数串被施加到转换器的输入以得到20位基数(1 + j)输出。转换后的输出位已向左移位一次,以获得虚数。最后,转换输出和输出的移位版本已经添加了一个特殊的加法器的帮助下,基于基数(1 + j),这是专为这一目的(见第3.4节),以获得积极的imag- inary数是在基地(1 + j)。正实数左移两次,并与正虚基数相加,得到负虚基数。乘法运算采用移位和加法算法。为了得到负实数,必须从LSB开始将正实数乘以11101。最后三位数只是负虚数,因此,负虚数被移位为K½X]10¼xi4i;1/4其中x为0; 1; 2; 3。将基数4数字转换为基数(-4)数字,方法是在从最低有效位开始的奇数位置引入一个负号对步骤2中获得的数字进行归一化,即,数字必须在0到3之间。这是通过重复地将4加到负数并将1加到其左边的数字来完成的如果数字是4,用零代替它,并从它左边的数字中减去1● 最后将每个数字值替换为相应的四位序列0!0000;1!0001; 2!一千一百,三! 1101Þ为了充分理解该算法,让我们假设一个例子:200base10除以4时,数字(3,0,2,0)base4是得到了当这些数字被转换为基-4时,得到基-4的数字(3,0,2,0)执行下一步骤,即归一化,由此获得数字(1,1,1,2,0),并将每个数字替换为四位串即,(0001 0001 0001 1100 0000),最后的结果。对于一个负整数,表1基数中的加法规则(-1 +j)。基数中的负整数(-1+j)Fig. 1. 设计流程图。左移<<1(-1+j)转换器负虚基(-1+j)左移<<2底数为正虚数(-1+j)基数(-1+j)的加法器基数(-1+j)的加法器左移<<2正整数In base(-1+j)基数(-1+j)的加法器8位二进制输入●●●0二进制数1二进制数2相加结果00001110111110082A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)80--P¼--ðÞXnkXkxnw对于k¼0:N-13N2Þ6X½1]716N76x100mm7676N.767无无无无无无无图二.正整数的整数到基(-1 + j)基转换器的结构。左边两次,并使用上面使用的相同加法器与正实数相加。3.1. 正实数转换器转换算法[1]的第一步是基于二进制除法原理。该结构通过连续被4除来实现,并计算余数。用于最后一个块[图3(e)]将选择基数(1 + j)中的等价位表示,它是一个寄存器序列,它将存储值0000、0001、1100和1101以分别表示数字0、1、2、3。只考虑这些数字,因为在应用算法后,获得的数字总是在(0-3)之间。它将取决于加法器的输出,该输出将被提供给解码器,然后解码器的输出将用作寄存器的使能。3.2. 虚数转换器为了获得虚数,正整数乘以11表示正虚数,乘以111表示负虚数。在base(1 + j)中,11等于j,111等于-j。现在,不再使用最终增加硬件复杂性的乘法器,而是使用移位和加法。如果需要一个正虚数,则从3.1节所示的转换器中获得的任何数字都向左移位两次,然后使用3.1节所示的复基加法器将移位的位相加。该加法器通过半加器、全加器、4:2压缩器和5:2压缩器实现。为了得到负虚数,正虚数被移动一次并与前一个相加。3.3. 负实数转换器为了得到负整数,将正整数乘以11101,这相当于基数(1 + j)中的(1)。在3.2节中,负虚数是通过移位3次并相加得到的,乘以111。因此,为了得到负实数,最后三次移位被省略了,因为这只不过是3.2节中得到的负虚数。所以通过模拟-8位二进制数((X71/4xi2i),最右边的位,即x1;x0可以将这个负虚数乘以2,用3.1节中得到的正实数,被认为是余数,并且当除以4时,其余比特可以被认为是余数。 下一个余数可以计算为x3;x2,并且该过程继续,直到MSB出现。设计流程图如图2所示,其中输入被认为是8位二进制数。该架构由5个块组成,如图3所示,即图3。 3(a)-(e)。 图 3(a)将基数(base)2转换为基数(base)4表示;即,当输入除以4时,用于获得分频器的电路它是一个8位并行输入并行输出寄存器,由D触发器组成,如图3(a)所示。此外,输入可以被馈送到电路的基数(基)-4的输入。第二块[图。 3(b)]是一个20秒补码电路,它将在奇数位处进行求反。这是通过仅给出从第一块获得的奇数位置处的比特来完成的,即,如果从第一块获得的比特是奇数。第三块[图3(c)]是用于基数(-4)到数字表示电路的电路;已通过3位串行加法器实现。这些加法器已被用于奇数位数与4和奇数位数的最左边与1的加法。得到实数3.4. 一种求虚整数和负整数的加法器加法器实现硬件已显示在图。 四、这种特殊的加法器已经通过二进制半加法器、全加器和压缩器实现[11]。加法器的设计基于复二进制数系统中的加法规则[如表1从图3中得到的转换器输出作为该加法器的输入,以获得复数的负实部和正虚部以及负虚4. 应用:离散傅里叶变换(DFT)离散信号x(n)的离散傅里叶变换(DFT)可以直接计算为:N-1N第四块[图] 3(d)]时,需要获得的数字具有数字4;然后步骤是用0替换4并从左边减去1该电路通过3:8译码器、2:1多路复用器和20s补码电路实现解码器的输入取自图1所示加法器电路的输出。 3(c).当输入数字为(100)2时,这将选择作为选择多路复用器同时解码器n¼0其中,WN (旋转因子)可以表示为W 1/4e-j2p1/4cos2p-jsin2p的EQ。(3)可以用下面的矩阵形式表示2X½0]3 21 11 · · ·132x031WW···wN-1使能,并将选择存储值0000的寄存器所以这样4被替换为0并且从左边减去1,6X½2].7½61w2.w4···w2N-1..76x107.将相同的输出线作为选择提供给2:1多路复用器六四五七六四。.N.···NN七五六四。75将基于多路复用器的选择线选择1或0的多路复用器的输出再次被馈送到20μ s复合器的输入电路板。X½N-1]1wN-1w2N-1N···wN-1N-1xN-1ð4Þ2NNNA. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)8083全加器全加器全加器全加器全加器全加器以 基 数 ( -1+j)表示数字的电路三点八分解码器-一种有效的DFT计算方法显着减少了所需的算术运算的数量,称为快速傅立叶变换(FFT)[12FFT算法将DFT计算划分为许多短长度的DFT,从而节省了大量计算[13]。如果DFT的长度N = Rv,即,相同因子的乘积,相应的FFT算法称为Radix-R算法。4.1. 硬件实现DFT结构的实现框图如图所示。 五、该结构包括用于生成输入矢量以及旋转因子的(1 + j)基转换器该转换器的输出然后乘以旋转因子,使用(一)(b)第(1)款复数乘法器,然后使用复数加法器将结果相加以获得最终输出。乘法和加法是基于复数基数算法完成的。4.2. 实施实例对于N = 2和N = 4,不需要乘法,因为所涉及的旋转因子的系数是1(正或负)。转换器的输出将是正的和负的实部正的和负的虚部输出,这些输出已经被小心地处理以用于乘法目的。因此,最终当这个输出乘以旋转因子1时,结果将是输入本身。从字面上看,这只意味着使用转换器生成的输入向量所以,当twid-(c)第(1)款B20B10B0 1B2 1B10B0 0Cin=0Cin=0(d)其他事项CoutS2S1S0增加1个回路CoutS2S1 S0加4电路从基数(-4)到数字电路01000二比一mux2的补码84A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)80到下一位,从左图三. (a)基(base)2到基(base)4转换电路。(b):基(base)4到基(base)-4电路。(c):基(基地)- 4位表示电路。3(d):数字4的替换电路。(e):以基数(-1 + j)表示数字的电路。A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)8085ð Þ2WWWW3WW46767676764756475676767664754647544466467546751图3(续)DLE因子为1,不需要乘法。这将通过取长度N = 4的DFT来证明,如下所示涉及虚数项如-jx1和当输入为x(1)或x(3)时,将获得jx 3作为转换器的输出。类似地,对于项2X½0]3006X½1]7 6010 04 42 34 472 x10006x100721 1 1 1361-j-1J7(2),它们将作为转换器的输出获得。转换器中的其他项也使用转换器获得6X27¼6w0Ww2w4WW宽67×6x27¼61W1 1 17有四个输入,因此每个输入需要四个转换器半]X½3]4 4 4 40 3 6 94 4 4ð Þx3-1j-1-j项x(0)、x(1)、x(2)和x(3)。旋转因子不需要在这种情况下,因为所需的条款是从康,verter本身。 类似地,对于8点DFT,示出2x1000万3x100002x0x 1x2x33x0½-jx1]½-x2]½jx3]7下面的Eq。 (5)、现在涉及的旋转因子是整数除了±1和它的虚部形式±1j之外。 所以这些需要使用单独的转换器生成,然后乘以×6x27¼6x 0x 1x 2x 37ð5Þ输入,旋转因子为±1或±1j倍的情况下,[中文字幕]x3x0½jx1]½-x2]½-jx 3]不需要。因此,这种方式减少了乘法的数量,并且操作也变得非常简单,仅涉及转换,乘法(如果旋转因子为±1或±1j,则不需要)和加法。2X½0]3 21 13 2x036X½1]7 612019 - 07 -2000:00:00J6x1007X½2]6 7x26X½3]7¼6111-0:7071ð6ÞX½4]6-7x104mm6X½5]7 6131010502000117号6x1500X½6]X½7]641- -时间:2017 - 07-07 00:00:00x6x700用于计算DFT的常规算法由下式给出:2X½0]36X½1]72x0x 1x2x3x4 x5x 6x 736x0P1½-jx2]P2½- x4]P3½jx6]P47X½2]x0½-jx1]½-x2]½jx3]4½ -x5]½-x6]½jx7]6X½3]7¼6x0P5 ½jx2]P6 ½-x4]P7 ½-jx6]P87ð7ÞX½4]6X½5]7x0½-x1]x2½-x3]x4½-x5]x6½-x7]6×10X½6]X½7]x0jx1]-x2]-jx3]x4jx5]-x6]-jx7]x0P13½jx2]P14½-x4]P15½-jx6]P16WW757575464646467575111111时间:2017 - 07-07 00:00:002019 -07 -2100: 07:07-1-0:7070:707J2019 - 07 -2000:00:00- -电话:0755 -8888888传真:0755 -8888888-1 J12019-07-2100:00:001 - 1 1-1 0:7070:707 1-1-j 1电话:0755-8888888传真:0755- 8888888粤ICP备17007777号-1-10:7070:707-10:707-0:707J粤ICP备17077777号-1J-1-j1J-1- -86A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)80cx32cx33cx34CX3CX36cx37cx38cx39CX40(一)b6a6b4 a4 0b3a3B2 A2B1 A1五比二压缩机四比二压缩机全加器半加器半加器(b)第(1)款从加法器cx10cx11S6cx12CX5CX4S4cx3S3cx2S2cx1S1cx15cx14CX13cx12cx11cx10b10a10b12a12CX23b13a13五比二压缩机cx19cx20cx21一半五比二压缩机充分cx27cx28cx29cx24cx25cx26五比二压缩机0四比二cx31cx32cx33(c)第(1)款CX315S10加法器b16a16CX22加法器S12CX30cx46cx47cx48cx49cx50压缩机S12b19a19cx34cx35cx56cx55cx54cx53cx52至加法器从加法器的C部分5:2压缩机0cx46cx47cx48cx51cx52cx53cx54cx55cx56cx46cx47cx48cx62cx61cx60cx59cx58cx57cout71cout72cout735:2压缩机5:2压缩机S16cx49cx50cx51CX57cx49cx50CX51cx63cout74cout75cout76半加器半加器S19cx57cout77S19见图4。求虚整数和负整数的加法器。其中P1 =(0.707-0.707j)× x(1),+0.707j)×x(5),P8 =(-0.707+0.707j)×x(7),P9 =(-0.707P10 =(0.707 + 0.707j)×x(3),P11 =(0.707-0.707j)×x(5),P12 =(-0.707P14 =(-0.707 +0.707j)×x(3),P15 =(-0.7070.707j)×x(5),P_(16)=(0.707b20a205:2压缩机5:2压缩机5:2压缩机A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)8087Base(-1+j)转换器Base(-1+j)Converter对于整个复数(a+jB输入向量第十章(0)X(N-1)Base(-1+j)转换器旋转因子WN第十章(0)-X(0)jX(0)-jX(0)X(N-1)-X(N-1)jX(N-1)-jX(N-1)复数加法器x(N-(N-1))x(N-1)如果旋转因子=1复数乘法器第十章(0)复杂加法器Y[0]复杂加法器Y[N-(N-1)]Y[N-1]输出图五. DFT处理器实现框图。5. 结果和讨论5.1. 仿真环境设计的十进制值可达255的转换器是出于测试目的。转换器及其子单元在Verilog中指定,并使用Xilinx ISE design suite 14.7进行综合。输入以250 MHz的时钟频率给出传播表2转换器的合成结果作为操作数长度的函数利用Cadence的NC Launch工具计算了变换器的延时和动态功耗为了验证设计的正确性,在设计上成功地模拟了500多个测试用例,涵盖了所有舍入模式和例外5.2. 结果基于上述标准的综合结果列于表2中。不同操作数长度的延迟、功率、能量延迟乘积(EDP)和功率延迟乘积(PDP)[23]的值如下:测量的扭矩见表3。 EDP(10- 21)J-s操作数长度速度等级占用切片数切片LUT数量和PDP(10- 12)J是效率的定量度量,速度和功耗之间的折衷。输入数据1位-1 1 12位-1 3 33位-1 11 114位-1 31 315位-1 50 546位-1 95 1247位-1 137 2308位-1150244都是为了模拟而定期拍摄的对于每个转换,延迟从输入电压摆幅的50%到输出电压摆幅的50%所提出的DFT设计也已被验证,综合和延迟也已注意到。在采用Verilog生成的45 nm工艺的Cadence平台上,使用RTL遭遇工具对设计的功耗和成本进行了验证表3复数基转换器的性能参数,如传播延迟、功耗及其乘积分析,是操作数长度的函数操作数长度传播延迟(nS)动态功耗(mW)EDP(10- 21)J-sPDP(10-12)J1比特1.0020.0190.0190760.0190382比特1.250.91.406251.1253比特1.3572.244.1248463.039684位1.3043.085.2372814.016325比特1.9313.9614.765897.646766位2.1915.0324.1464211.020737位9.3766.05531.851756.724888A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)808位9.8096.45620.596363.26805A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)8089% ¼× %--表4不同长度DFT的成本,以模块数量DFT尺寸成本(-1 +j)个转换器乘法器加法器对于输入向量对于旋转因子2点20044点400168点811664表5复数基(-1+j)转换器DFT旋转因子的期望输出和生成输出之间的比较输入输出百分比预计生成误差(%)±0.707±0.707±0.7070±0.707j±0.707j±0.707j0±0.707 ± 0.707j±0.707 ± 0.707j±0.707 ± 0.707j00.92380.92380.92380±0.9238j±0.9238j±0.9238j00.38260.38260.38260±0.3826j±0.3826j±0.3826j0±0.92387 ± 0.38268j0.9239 + 0.3827j±0.9239 ± 0.3827j0±0.2033j±0.2033j±0.2033j0±0.11223j±0.11223j±0.1122j0.026表6提出的DFT处理器的性能参数和比较。架构参数点数Propagation Delay(nS)功率(mW)EDP(10-18)J-sPDP(10-9)J[第20话]8点DFT184165558630.36美国[19]194178669934.53CORDIC[21]179155496627.75提出108.548910399.65[第20话]16点DFT38535652768137美国[19]43240775955175.8CORDIC[21]37036349694134.3提出2532091337752.8代码. 表4示出了作为模块的函数的不同长度DFT处理器。错误预期-生成100预期该(1 + j)转换器对小数点后4位的小数输入显示出100%的准确性,对小数点后5位的输入显示出100%的准确性,这使得我们的电路更有效,因为没有采用舍入算法或电路设计转换器。这使它成为一个有效的浮点单元,可用于许多浮点应用。准确度是用公式计算的误差百分比来衡量的。表5显示了DFT计算的旋转因子实现的误差比较。从表5中可以观察到,小数点后5位的误差仅为0.026%。5.3. 讨论表6给出了DFT处理器的性能参数,如传播延迟、动态切换功耗及其乘积分析。表6还包含实施的8点和16点DFT处理器与其他实现的比较。为了便于比较,实施方法学取自参考文献,并在相同环境中实施。所实现的方法已经与三种不同的方法进行了比较,如分布式算法(DA)[20]脉动阵列(SA)[19]和CORDIC[21]的实现。从表6中可以看出,所提出的设计比基于DA的实现快40%,比基于SA的实现快43%,比基于CORDIC的实现快39%。6. 结论本文介绍了复数基(1+ j)转换器提供了大量的仿真结果,并提出了这种转换器的离散傅立叶变换(DFT)处理器的应用DFT处理器的功能已经在Xilinx ISE设计套件版本14.7中进行了验证,并通过Cadence中的Virtuoso平台计算了该电路的门级实现已经过功能验证。利用Cadence中的Virtuoso平台计算了传输时延和动态开关功耗等性能参数90A. Shadap,P. Saha/工程科学与技术,国际期刊20(2017)80-引用[1] D. Knuth,An imaginary number system,Commun. ACM 3(1960)245-247.[2] W.陈文,一个具有负基的数值系统,数学,学生学报,(1964)1-2。[3] W. Pen ney ,A binary system for complex numbers,J. ACM 12(1965)247-248.[4] T. Jamil , N. Holmes , D. Blest , Towards implementation of a binarynumbersystem for complex numbers,Proc. IEEE东南会议(2000)268-274。[5] T. Jamil , TheComplexBinaryNumberSystem-Basic ArithmeticMadeSimple,IEEE Potentials 20(2002)39-41。[6] T. Jamil , An Introduction to Complex Binary Number System , FourthInternational Conference on Information and Computing(ICIC),2011,pp.229-232.[7] J. Goode,T. Jamil,D.李文,一种简单的复数加法电路,北京大学出版社,2000。I(2004)61-66中所述。[8] T. Jamil,A. Al-Maashari,A. Abdulghani,(1 + j)基复二进制数的半字节大小乘法器的设计和实现,WSEAS Trans. 电路系统4(2005)1539-1544。[9] D. Blest,T. Jamil,Division in a binary representation for complex numbers,Int.J. 数学教育Sci. Technol. 34(2003)561-574。[10] T. Jamil,S. 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