多项式环R[x]满足正则闭乘法

2½]ð Þð Þð Þ ð Þ<$f2 ½] g <$f2半]拉克什岛拉克什岛hi ×···×hiR x R X.（4）URxnf2Rx：cfcgROJournal of the Egyptian Mathematical Society（2016）24，1埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章多项式环哈尼河Khashan*，Worood BurhanAl al-Bayt大学数学系，约旦接收日期：2014年2月22日;修订日期：2014年6月17日;接受日期：2014年8月2日2015年2月11日在线发布设R是有单位元的交换环。R称为干净的（几乎干净的），如果R中的每个元素都是幂等元和单位元（正则元素）的和。本文给出了多项式环R [x]的两个覆盖环R[x]和R[hx]是（几乎）clean环的条件.2000年数学潜规则分类：13 A15; 13 A99; 13 B99？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍在本文中，环R与单位元交换，U R表示R的所有单位元的集合，reg R表示R的正则元的集合，Z R表示R的所有零因子的集合，Id R表示R的所有零因子的集合R的所有幂等元的集合。 如果f R x，R上所有多项式的环，则C f表示理想 的 R生成 通过 的 系数 的 F. 让SFR x：C fR和WFR x：f是monic}。则S和W是正则乘法闭子集，R1/2x]和分数S-1R1/2x]和W-1R1/2x]的环是分别用Rx和Rhxi表示。很明显，R;Rx和Rhxi有许多共同的性质。 在下面的引理中，我们考察了本文所需要的环R1/2x]、R1/2x∈ R和Rhxi的一些性质。引理1.1. 设R为环。然后(1) 如果f和g是R ½ x ]中的两个非零多项式，且de gfk，则c gk1cfkcgkcf gk。(2) 如果 R是 有限维 戒指， 然后 dimð Rð xÞÞ ¼di mRhxiR½ x]-1。(3) IdRxIdRhxIdR。G.Rx本身是Rhxi的分数环，参见定理3.16，[1]的文件。R_∞x_∞的一些基本性质及相关定理在[2-5]中我们可以*通讯作者。电子邮件地址：hakhashan@aabu.edu.jo（H.A. Khashan）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.08.003(5) 在R的极大（极小）理想和R的极大（极小）理想之间存在一一对应，R的极大（极小）理想由P$PR <$x<$（或P$PRh x i）给出。(6) 如果I是R的理想，则IR x\R <$I Rh x i \R <$I。(7) 如果R<$R1×R2×···×Rn是环的直积，则RxR1x×R2x×·· ·×Rnx和RhxiR1hxi×2N(8) 如果R是不可分解环，则Rx和Rx也是不可分解的。(9) 如果R是Noether环，则Rx和Rx也是Noether环。1110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词清洁环;几乎清洁环;环Rx和Rhxið Þ ¼ ð h iÞ ðÞ ) ð Þ¼_v \hi_v_00ff ffðÞ ) ð Þ hiGGG_0g的ð Þ2小时Khashan，W. Burhan证据 参见[2，5，4]。 H设R为环。一个元素r2R被称为干净的（分别，几乎干净），如果r<$ue，其中u2U<$R<$（分别，也Id RId R x ，则类似于31的证明，我们看到R是一个clean环。H_设R是环，P是R的素理想. 然后u2regR）和e2IdR。 如果R中的每个元素都是clean_1（分别几乎干净），则R称为干净（分别几乎干净）环。因为环R中的每个单位都是正则的，所以几乎clean环类是clean环类的推广。这个推广是恰当的，因为任何非拟局部整环几乎是干净的，而不是干净的，见[6]。干净环类（不一定是交换的）最早是由Nicholson[7]在1977年研究提升幂等元和交换环时引入的。事实上，他证明了类交换清洁环符合类交换交换环。从那时起，人们对干净环及其推广有了大量的了解。特别是在2002年，安德森和卡米洛[6]研究了交换clean环，给出了Noether clean环的一个特征。然后安和安德森[8]在2006年，定义并研究了弱清洁和几乎清洁环作为清洁环的两个重要推广。2012年，Anderson和Badawi[9]给出了一个完整的分类，PS其中Q是R的素理想[ 等P\R½x]<$S-1Q\R½x]<$Q 因此，P\R<$Q\R是R的素理想。类似地，PR是R的素理想，vR x的任何素理想P。我们还记得，环R称为pm-环，如果R的每个素理想包含在唯一极大理想中。在下面的引理中，我们阐明了R_（？）x_（？）和R_（？）x_i是pm-环的一个条件.引理2.2. 设R为环。则以下内容是等价的(1) R是PM环。(2) Rx是一个pm-环。(3) RHXI是PM-环。清洁环的元件R½x]。关于清洁的更多结果_证据1环和它们的一些推广也可以在[10，11]。在本文中，我们澄清了以下条件-R x的素理想假设有两个不同的- -R的极大理想M1和M2使得P<$M1和P- -对于环R来说，ing语句是等价的：2.利用引理1.1，对R的一些不同的极大理想M1和M2，证明了M1和M2.因此，在本发明中，(1) R是干净的（几乎干净）。- -(2) Rhxi是干净的（几乎是干净的）。(3) Rx是干净的（几乎干净）。P\R M1Rx\R M1和P\R M2Rx\R M2。但是，P\R是R的素理想，这与R是pm-环相矛盾。因此，Rx的任何素理想都包含在唯一极大理想中，所以Rx是pm-环。2. 当Rx和Rhxi是（几乎）clean环时2v是pm-环，设P是素数在本节中，我们阐明了环R上的环Rx和Rhxi是干净环或几乎干净环的条件。Rhxi的理想 如果R∈ Hx∈T-1R∈ Hx ∈T，则T-1P是R∈ Hx∈T的素理想。因此，存在Rx的唯一极大理想M，使得定理2.1.设R是一个环，并考虑以下问题：v_T-1_联系我们报表P.M. 记为M T Q其中Q是素理想_的Rhxi。然后，可以清楚地得出M\Rhxi<$T-1Q\(1) R是干净的。(2) R h x i是干净的。(3) Rx是干净的。Rhxi<$Q是Rhxi的唯一极大理想因此，Rhxi是pm-环。v含P.然后我们有3）1和2）1。证据 ）：假设R是一个干净的环，令r 2 R。因为Rx是干净的，2 URx和2IdRx，使得r¼ þ . 因此通过3.1假设R x 是一个PM环。 设P是素数理想，并假设R存在两个不同的极大理想M1和M2，使得P<$M1 和 P<$M2 。 则 PRhxi 是 Rhxi 的 素 理 想 且 PRhxi<$M1Rhxi 且PRhxi<$M2Rhxi. 但是，M1Rhxi和M2Rhxi是Rhxi的不同的极大理想，这是一个矛盾. 因此，R是g g0g g0PM环。H引理1.1，我们有cgcfR和f0e2IdR。在那里-前面，2个U轴X轴\R。现在足以证明URx\R <$U R <$。令f<$r2UR xR\R，则f<$rg，其中cgf<$R，同样由引理1.1得出，cg1c rcg0c rg c rg。因此，所以你就去找他。另一种包容是显而易见的。因此，R是一个干净的环.2RU Rx\R UR，所以URhxi\R <$UR。以来文[6]证明了每个clean环都是pm-环。从下面的引理中可以看出，在一定条件下，逆命题成立。引理2.3[6]. 设R是具有有限个极小素理想的环。则以下是等价的：(1) R是拟局部环的有限直积。(2) R是一个干净的环。(3) R是PM环。Gð ÞðÞ ) ð ÞðÞ ) ð Þð ðÞÞ ¼ð hiqiang½ [英语泛读材料ð ½ [美国ð Þ ¼ðωÞðωÞðωÞ联系我们¼ þðωÞð hi hið Þð 联系我们¼1 2 1211拉克什岛11GG1__1--多项式环的覆盖环的清洁性3现在，我们利用上面的两个引理证明了本文的主要定理。证据 设Rx几乎干净，令r 2 R Rx。作为Rx几乎是干净的，而IdRxIdR，则rfe其中f2 regRx，e 2IdR。因此，f<$r-e 2定理2.4.设R是具有有限个极小g g的环主要理想以下是等价的。(1)R是一个干净的环。regRx\R. 这足以证明regRx\R ¼regR。设t2regR <$x <$<$\R，并假设存在 0- a 2R等的ta¼0。然后0ta <$ta<$0 这是个矛盾因 此 ，t 2 regR。(2) Rx是一个干净的戒指。1 1 1(3) Rhxi是一个干净的环。证据12：如果R是一个clean环，那么根据[6]中的推论4，它是一个pm-环，因此R x由引理2.2证明是pm-环。根据引理1.1，R的极小素理想与R的极小素理想之间存在一一对应。由此可以得出，R x也有有限个极小素理想。因此，根据引理2.3，Rx是一个clean环.AsRx是干净环，它是pm-环。我们再次使用引理2.2来得出Rhxi是pm-环的结论。 因为同样，根据引理1.1，Rhxi有有限个极小素理想，那么Rhxi是干净环。31：这是定理2.1。(in在这个方向上，我们不需要R有有限个极小素理想的条件）。H在下面的定理中，我们给出了Rx和Rhxi是clean环的其它条件。定理2.5. 若R是零维环或拟局部环的有限直积，则Rx和Rhxi是干净环。证据 假设dimR 0，那么通过引理1.1，我们得到dimR x 1。但是，再根据引理1.1，我们得出dim R x dim R x暗R x10. 结果 [11]在[12]中，现在，假设R<$R1×R2×···×Rn是直积的其他安全壳 是清楚 因此，我们认为，reg R x RregR和R是几乎干净环。类似地，可以证明reg R xR雷格河所以R x几乎是干净的环意味着R几乎是干净的。一般来说，我们不知道定理2.8的逆命题是否总是正确的。然而，在下面的定理中，我们证明了这在特殊情况下是正确的。首先，我们给出以下定义：定义2.9.一个环R被称为满足性质，如果对于R的任何乘闭子集S，我们有S-1<$P<$Q <$\R<$P <$Q对于R的任何素理想P和Q。如果环R是零维环（如Zn），则R的每个素理想都是极大的。因此，对于R的任何不同的素理想P和Q，我们有S-1PQ R S-1R RRPQ. 因此，R满足以下性质：. 同样地，一维整环满足该性质。同样，如果环R的所有素理想的集合形成一个链，比如P0<$P1<$···<$Pn，则Pi <$P j<$$>Pk，其中k<$max fi;jg。因此，S-1<$P i<$P j<$$>\R<$P i<$Pj和R也满足该性质。一般来说，如果I和J是赋值环的任意两个理想，则I <$J或J <$I。因此，人们可以很容易地看到任何赋值环满足性质ω ω ε。定理2.10. 设R是一个环，其中R½x]满足性质[ω]。若R是不可分解的几乎clean环，则Rx和Rhxi也 是不可分解的几乎clean环。准局部环则RxR1x×R2x×· ··×Rnx也是拟局部环通过引理1.1的直积。证据 让 P1和 P2被 Prime 理想 的 Rx，_ ___现在，结果由[6]中的命题2得出。的证明P1; P2Z Rx。然后P1¼S-1Q和P2S-1Q_哪里_Rhxi类似。H现在，对于一个环R，我们研究在什么条件下R<$x<$Q1和Q2是R½x]的素理想。假设P1≠P2¼S-1QS-1Q¼S-1QQRx。当Rx满足时，__和Rhxi是几乎干净环。首先，我们注意到，如果R是一个性质ω ω n，我们有ωP1ωP2ω n \R1/2x]1/4S-1ωQωn\2整域，则可以容易地证明R<$x<$R½x]<$$>Q1<$Q2。因此，Q1\RQ2\RQ1Q2\R和Rhxi是整环。因此，Rx和Rhxi是几乎干净的戒指。在下面的两个引理中，我们可以看到. _ _P1和P2\R<$Rx\R<$R此外，Q1\R;Q2\R_表征为不可分解几乎清洁和Noetherian几乎干净的戒指。你好。事实上，如果r2Q1\R，则r2P1，因此存在0因此，rf 1/40。如果f<$a0等于a1xn···an xn，则对于某个非零值，rai<$a0引理2.6[8]. 环R是不可分解的几乎干净环环当且仅当对于R的素理想P和Q，其中P，Q<$ Z<$ R<$$>，我们有P<$ Q-R引理2.7[8].一个Noether环R是几乎干净的当且仅当对于R的素理想P和Q，其中P;Q<$Z<$R<$，P<$Q<$R，则R中存在一个幂等元e，且e2P和1-e2 Q。定理2.8. 设R为环。若Rx或Rx是几乎干净环，则R是几乎干净环。f的系数ai。因此，r2Z<$R <$且Q1\R<$Z<$R <$。类似地，Q2\R <$Z<$R <$。但是，这与引理2.6相所以P1<$P2- R <$x <$。因此，再次使用引理2.6，我们看到Rx几乎是干净的。因为R是不可分解的，所以Rx也是不可分解的。类似地，Rhxi是不可分解的几乎干净环。 H定理2.11.设R是一个环，其中R½x]满足-ω x [x]。 若R是Noether几乎clean环，则Rx和Rhxi也是几乎clean环。12半]__拉克什岛2张图片2-24H.A. Khashan，W. Burhan证据首先，我们注意到Rx和Rhxi是Noether环[2]D. D. 安德森，D.F. 安德森河，巴西-地马坎达，《指环王》和Rhxi，J. 《代数》95（1985）96 -11 5.引理1.1 设P1和P2是R∈x∈ R的素理想，[3] S. Glaz，多项式环的遗传局部化，J. 代数--P1; P2Z Rx和P1P2¼ Rx。那么作为证据在定理2.10中，我们有：Q1和Q2是Rx的素理想.由于R是一个Noether几乎干净环，那么根据引理2.7 ，有一个元素e2Id<$R<$，使得e2<$Q1\R<$，且1-e2 <$Q2\R<$。因此，在本发明中，通过引理1.1，e Id R x，其中e P1和1e P。因此，通过引理2.7，R x又几乎是干净的。同样，R x是一个几乎干净环。H致谢在此，作者感谢各位审稿人的宝贵意见和建议，这些意见和建议提高了论文的质量。引用[1] M. Larsen，P. McCarthy，Multiplicative Theory of Ideals，Academic Press，New York and London，1971.140（1991）101-112。[4] L.R. Riche，TheringRhxi，J. 《代数》67（1980）327 -34 1.[5] J.A. Huckaba，具有零因子的交换环，纯数学和应用数学专著和教科书，第117卷，Marcel Dekker，Inc.，纽约，1988年。[6] D.D. Anderson，V.P. Camillo，交换环的元素是单位和幂等元的和，Commun。代数30（7）（2002）3327-3336。[7] W.K. Nicholson ， 提 升 幂 等 元 和 交 换 环 ， Trans. Am 。Math.Soc.229（1977）278-279.[8] M. Ahn，D. D.安德森，弱清洁环和几乎清洁环，落基山。36（3）（2006）783-798。[9] D.F. 安 德 森 ， A. Badawi ， Von Neumann regular andrelatedelements in commutative rings ， Algebra Colloq.19（1）（2012）1017-1040.[10] W.D. 伯 吉 斯 河 Raphael ， 关 于 交 换 干 净 环 和 pm 环 ，Contemp。Math.480（2009）35-55.[11] W.D. 伯吉斯河Raphael ，Clean classical rings of reducentsofcommutative rings with applications to C（X），J. 代数应用 7（2）（2008）195-209。