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理论计算机科学电子笔记143(2006)185-196www.elsevier.com/locate/entcs非标准亚纯群Thomas Scanlon托马斯·斯坎伦1,2加州大学伯克利分校数学系,邮编:94720-3840美国摘要推广了[7]关于可定义在紧致复流形上的群和[1]关于可定义在非标准紧致复流形上的强极小群的工作,我们对可定义在非标准紧致复流形上的所有群进行了分类,证明了如果G是这样的群,则存在线性代数群L,可定义紧群T和可定义正合列1→L→G→T→ 1。关键词:紧复流形,亚纯群,非标准分析,限制解析函数1介绍完全先验的理论是由莫利在他的过程中分离出的L-o的conjecure的uncouptable可计算的神学[ 4 ]。后继工作不稳定性理论为完全先验理论模型中的可定义集合和类型产生了丰富的结构理论来自代数几何和线性代数的这种理论的自然例子并没有表现出一般理论所设想的复杂结构,而离散代数为具有代数头脑的模型理论家提供了肥沃的试验场,大多数几何学家发现了奇异的离散闭域。完全先验理论的特征是Morley秩,这是对Stone型空间上的Cantor-Bendixson秩的一种阐述,1部分由NSF资助DMS-03* 和NSF CAREER.2 电子邮件地址:scanlon@math.berkeley.edu1571-0661 © 2005 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2005.05.029186T. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185模型,是有序值。特别地,如果莫利秩总是有限的,则一个理论是完全Zilber观察到紧致复流形可以被视为有限Morley秩的一阶结构[8]。实际上,Zebraki几何的深层理论[2]和几何稳定性理论的许多非平凡结果都适用于这一背景。几何稳定性理论的一个主要主题是,要理解有限Morley秩结构中可定义集合的结构,首先应该理解可定义群。事实上,有限秩的结构可以用秩一集合来分析,秩一集合的内部结构和这些集合形成分析的方式都是由可定义的群来描述的。现在,让我们简化定义以便于说明。(详细分析见[5]。)道德上,一个(类型)可定义集合X的分析是由一个(类型)可定义集合X0,.的有限序列给出的。,Xn= X和可定义映射πnπn−1π1Xn−→Xn−1−−→···− −→X0其中X0是有限的,πi:Xi→Xi−1的每根纤维秩为1。Zilber原理,这是真正的可定义集在紧凑的复杂流形,断言对于一个秩为1的集合,它要么是平凡的,在技术意义上,所有可定义的关系都可还原为二元关系,要么有一个可定义的群完全决定给定秩为1的集合的结构,并且这个群要么是代数闭域上的代数群,要么是阿贝尔群。没有太多额外的结构。此外,纤维化πi:Xi→Xi−1要么本质上是产品,要么用可定义的组来描述文[7]中完整地描述了紧致复流形上的可解群。虽然这个结果解决了标准模型中可能的非平凡秩1可定义集的问题,但它并没有完全描述控制纤维化的群。的确,在《古兰经》中,振动πi:Xi→Xi−1本身可以在族中变化理解这些一个群族与理解在一个类属上定义的群是一样的。参数. 也就是说,必须用初等扩张来描述群在[1]中处理了非标准紧致复流形中的强极小群,或者如果你喜欢的话,秩一群的重要情况,但是在非标准紧致复流形中对一般可定义群进行在本文中,我们处理这个问题。根据一个人的观点,我们的结果要么无聊,要么令人放心。我们表明,适当的解释,熟悉的结构定理的群体可定义在紧凑的复杂的流形(本身是一个温和的推广Cheval-lay的结构定理代数群)举行的群体可定义在非标准的紧凑的复杂的有趣的是,我们稍后会解释T. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185187这个结构定理在相应的非标准实解析几何中的“紧致复流形”范畴中甚至在复李群范畴中都是不成立的因此,虽然紧致复流形的理论表现出有限Morley秩的一般理论的某些病态,但它们比高维Zebriki几何理论所允许的更规则。2作为模型的在这一节中,我们回顾了有限莫雷秩理论的一些基础知识,紧致复流形的逻辑形式主义,并讨论了其理论的非标准模型的几何解释读者可能希望查阅[3],以更全面地阐述紧致复流形的模型理论在Morley在一个充分饱和的结构中(我们将这样做),莫雷秩可以用递归来简洁地定义设X是一个可定义的(对我们来说总是意味着有参数)集合,那么• RM(X)≥0当且仅当X/=0• RM(X)≥α+1当且仅当存在无限多个两两不相交的子集Xi<$X,每个子集都满足RM(X)≥α• RM(X)≥λ当且仅当RM(X)≥α对所有α λ。X的Morley秩是α,如果RM(X)≥α,但RM(X)/≥α + 1,X的Morley度dM(X)是d,如果有d个成对不相交的可定义子集X1,.,Xd,每个都有RM(X)= RM(Xi),但不能找到多于d个这样的集合。从定义中,我们可以看到,只有在RM(X)= 0的情况下,X才是有限的和非空的,在这种情况下,dM(X)= #X。一个可定义的Morley秩和度为1的集合被称为强极小。等价地,一个可定义的集合X在它无限的情况下是强极小的,但每个可定义的子集要么是有限的,要么是有限的。有一些强极小结构的标准例子(即,当把宇宙看作由x = x定义的集合时,其宇宙是强极小的模型):一个纯粹的无限集合,一个无限集合与一个没有有限循环的双射一元函数一起给出,一个在一个域上的无限向量空间,用一元函数符号扩充的群的语言,用于每个域元素的标量乘法,以及一个代数闭域。Zilber原则断言,从技术意义上说,这些例子穷尽了188T. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185可能性Zilber原理实际上断言了强极小集类中存在两条重要的分界线。首先,我们说一个强极小集X是平凡的,如果X的笛卡尔幂的可定义子集类是由二元关系生成的。我们上面的前两个例子有这个性质,而很容易看出,没有无限群是平凡的。事实上,如果一个强极小集是非平凡的,那么这种非平凡性必须由一个可解释的有限群的存在来证明其次,我们说,一个群G被认为是某种语言中的一阶结构,可能扩展了群的语言,如果G的每个笛卡尔幂的每个可定义子集是可定义子群陪集的有限布尔组合,则该群G是模Zilber原理意味着,如果一个强极小群不是模的,只有当它解释了一个代数闭域。不幸的是,Zilber原理(以前,猜想)并不适用于所有的强极小集,但它确实在更强的假设下成立,特别是在Zebraki几何的情况下,满足某些拓扑条件的强极小结构[2]。它遵循一般的理由,任何结构解释在一个结构的有限莫莱秩本身有有限莫莱秩。特别地,如果K是代数闭域,则K上可逆n×n矩阵的一般线性群GLn(K)与任何可定义子群一样具有有限Morley秩。Cherlin-Zilber猜想断言每个有限Morley单群都是线性代数群。从齐尔伯原理导出切尔林-齐尔伯猜想是相当容易的.由于齐伯原理对于紧致复流形理论是正确的(见下面的讨论),在紧致复流形中可解释的群中找不到切尔林-齐伯猜想的反例。然而,我们将使用为研究这个猜想而发展的一些技术。其中最有用的是Zilber不可分解定理。群G的可定义子集X∈G称为不可分解的,如果对G的任何可定义子群H≤G,X/H是无限的或X/H是单点的。Zilber不可分解性定理说,如果G是有限Morley秩的群,X是G的不可分解子集的集合,每个子集都包含单位元,则由X生成的G的子群可表示为X1···························· Xn , 对 于 某些有限序列X1,.,Xnfrom X.我们使用的另一个更基本的事实是,对于每一个有限Morley秩的群G,存在一个可定义的正规子群GG,G/G是有限的,G是连通的,也就是说,没有可定义的有限指标子群。回想一下,复流形是第二可数Hausdor空间M允许一个开覆盖M=i∈IUi,其中对于每个指标i∈I,我们给出一个同胚m∈i:Ui→Vi<$→Cni你和我之间的关系T. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185189J设Vi为复数的某次幂,使得映射<$i<$$>−1:<$j(Ui<$Uj)→<$i(Ui<$Uj)是全纯的。我们将感兴趣(主要)在紧凑的复流形,并为这些我们可以选择覆盖,只有有限的图表。我们说子集X∈M是解析的如果它是闭的,并且i(Ui<$X)<$Vi是定义在Vi上的全纯函数序列的公共零点集,对于每个索引i∈I。解析集包括M上的解析Zebraki拓扑的闭集。给定一个紧致复流形M,我们构造一个关系语言L(M)和M作为L(M)-结构的解释如下。对于每个自然数n和解析集X<$Mn,我们有一个n元关系符号X(x1,.,xn),其将被解释为Xia1,..,ann∈X惠M| = X(a1,.,an)。 除此之外,在M是有限的情况下,规范L(M)具有基数2×0,M中的每个点都是封闭的,从而产生一元谓词。有时,人们可以找到一个可数子语言L ∈ L(M),使得每个L(M)-可定义的集合(M的任意笛卡尔幂)在L中参数可定义。 例如,如果M=P1=C ∞ {∞}是复射影直线,则L可以由加法图和乘法图的(P1)3然而,一般来说,不可能找到这样一个可数的子语言。使用多分类一阶逻辑,我们可以将所有紧致复流形视为单个结构A。对于每个紧复流形M(或者,实际上,每个同构类型一个),存在一个排序,也用A中的M表示。 给出了M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7、M8、M9、M10、M11、M12、M13、M14、M15、M16、M17、M18、M19,Mn和M1×···× Mn的闭解析子集的关系X.Zilber定理2.1(Zilber)多重分类结构A消除了量化器。因此,每个紧致复流形都是π1-紧致的,并且具有有限的Morley秩,其Morley秩由其复维数限制。此外,如果X是在A中可定义的强极小集,则存在有限子集XJ<$X,当我们把X j的笛卡尔幂上的解析集的迹作为基本闭集时,X j<$X是一个Zebraki几何。因此,Zilber原理在A.A中的齐尔伯剖分采用强形式,因为直到可定义的同构,唯一可解释的场是复数场,给定为可定义的集合P1z {∞}。穆萨已经证明,在一个基本的扩展,AJ≥ A仍然是唯一可解释的场(直到可定义的同构)是C在AJ中的解释。根据Chow190T. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185yi=1Σ射影空间的分解子集都已经可以用场语言定义了。还有一些其他的复空间,Moishezon空间,它们本质上是回想一下,从一个(连通的)复流形到另一个复流形的亚纯函数f:X→Y实际上根本不是一个函数,而是由它的图Γf<$X×Y给出的,它是X×Y的一个不可约解析子集,对于它有一个Zebrski稠密开子集U<$X,使得f对U的限制是一个解析函数。从数量消去法可以得出,A中的每个可定义函数都是分段亚纯函数。复流形M称为Moishezon,如果存在亚纯函数f:M→(P1)n是一般内射的.我们注意到Moishezon空间的乘积也是Moishezon,Moishezon空间在亚纯函数下的像也是Moishezon。我们将反复使用这样一个事实,即一个可定义的群是Moishezon,它可定义地同构于一个代数群。我们将几何语言推广到AJ≥A,它是A的初等扩张.设f:X→Y是两个紧流形之 间 的 全 纯 映 射 , 且 fAJ: XAJ→YAJ是 它 在 A j 中 的 映 射 的i_intrepretation, 即,通过定义,XAJ的闭合分析子集。 这是一个事实,即这些集合形成了XAJ上的一个拓扑的封闭集合。在标准模型中,对于每个整数d,集合X(f,d):={y∈Y| dim(Xy):=dim(f−1{y})=d}是可定义的。 在AJ中,我们定义dim(f−1{y})=d惠y∈X(f,d)AJ. 此外,当X是流形时,y∈Y的集合S(f)也是J可定义的。 在AJ中,我们说Xy是流形,仅当y∈S(f)A时。在任何一个由可定义集合给出拓扑的一阶结构中,可以理解一个可定义流形的概念:一个豪斯多流形空间M与有限开覆盖M=nUi和同胚一起i:每个Ui和某个可定义的开集V i之间的U i → V i,对于该开集V i,诱导转移映射是可定义的和连续的。可定义流形之间的映射由连续函数给出,当在图表中阅读时,这些连续函数是可定义的。 我们隐含地使用了这样一个事实,即任何在A中可解释的群或任何初等扩张都具有可定义流形的唯一结构。重要的是要注意,A中的可定义流形不一定是紧致复流形,并且不知道任何这样的可定义流形是否必须可定义地同构于紧致复流形的子流形。由于我们的语言A是太有限的讨论通常的欧几里德拓扑紧凑复杂的流形,它有时是有用的工作,在一个扩展的语言,可以包括这种拓扑。结构Ran是实数(R,+,×,,0, 1)被限制实解析函数展开的有序域。也就是说,对于每个自然数n和每个实数powerseriesf=aαXα1· · ·Xαn,其中,在Someneighbood中,1NT. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185191Σ在单位n-立方体中,我们有一个n元函数符号f,如果x在单位立方体中,则f(x)= aαxα,否则f(x)= 0。 R an的理论是o-极小的(这意味着宇宙的每个可定义子集都是一个点和区间的有限并集),并具有其他良好的属性。使用C作为R2的通常解释,可以看到每个复解析函数都有实解析实部和虚部,并且每个紧致复流形,被认为是上面的一阶结构,可以在Ran中解释。因此,当研究A的初等扩张时,可能以进一步初等扩张为代价,我们可以假设该结构在Ran的非标准模型中解释。我们使用关于A在R中的可解释性的观察,只是为了给出可定义紧的简洁定义。如果M是一个可定义流形,在一个域的某个o-极小展开式中插值,我们说M是可定义紧的,如果对每个可定义连续函数γ:[0,1)→M存在极限limx→1γ(x)。如果M是R的O-极小扩张,则可定义紧和紧等价,但一般来说,可定义紧紧凑不一定意味着紧凑。在[1]中表明,在A的理论的任何模型中可解释的强极小群要么是线性代数的,要么是可定义紧的。读者可能希望查阅那篇文章,以讨论可定义紧性的其他特征。3非标准Chevallay定理在本节中,我们建立了可由A的初等扩张定义的群的结构定理(定理3.6)。接下来,我们将在A的初等扩张AJ≥ A.当我们说“可定义”时在证明我们关于可定义于Aj的群的结构定理时,主要步骤是证明一维线性代数群的可定义扩张总是(几乎)分裂。标准模型中的相应结果不会以任何明显的方式转移,因为人们可能看到分裂的方式可能不均匀地依赖于参数。此外,证明在[7]中提出的这个结果在标准模型中不起作用。我们需要三个新的证据。首先,我们使用[6]中的第二,我们必须明确地形成我们的部分资格。最后,我们使用[1]中的非标准Fujiki嵌入定理。引理3.1假设G是连通可定义群,L是一维线性代数群,存在正规可定义子群H≤G,其中G/H通过映射π:G→L与L同构。则存在1维代数子群A≤ G,其中π(A)= L。192T. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185g∈GN=证据通过对dimG的归纳,我们可以假设如果K G是一个真可定义子群,则π(K)是平凡的。此外,我们可以假设G不是一个代数群,因为根据特征为零的域上的代数群的结构理论,如果G是一个代数群,那么这样的A将存在。3.2如果X∈G是一个可定义的子集,其中RM(X) dimC时,C的类属点G中的类属稳定子S是无限的。根据Fujiki定理的非标准版本当L稳定{∞}时,我们看到π(S)=L.Q在子群H是定义紧的情况下,我们可以放弃L是一维的假设。引理3.3设H是可定义紧群,L是线性代数群,G是连通可定义群,G存在可定义正合列1−→H−−→G−π→L−−→1则存在可定义的正规子群K<$G,其中π(K)=L且K<$H没问题。证据我们通过归纳法对dimL进行研究,其中dimL= 0是平凡的。在更一般的情况下,设A≤L是一个一维代数子群。由引理a3.1可知,设hπ(A_∞)=A,则A_∞≤G是一个可定义的n维子群. 设N是由A的共轭生成的群,G. AsA是线性代数,so是N。特别地,N的无穷子群都不是可定义紧的。 所以,我的意思是。我们有一个新的xct序列1−→H/(H<$N<$)−→G/N<$−ν→L/π(N<$)−→1本文通过归纳法证明了t是子群LG/N<$,其中hν(L) =L/π(N<$)且L<$H/(HN)有限。 L在G中的原像随我们的想象而变化。Q作为引理3.1的结果,我们看到,即使在非标准紧致复流形中,线性代数群通过线性代数群的扩张本身也是线性代数的。 值得注意的是,即使在标准194T. Scanlon/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143(2006)185通过代数群对代数群的扩展建模不需要是代数的。引理3.4设H和L是线性代数群,G是连通的可定义群,其中存在可定义的正合列1−→H−−→G则G也是一个线性代数群。π−→L−→1证据 通过归纳G的维数,我们可以假定G的每个真子群都是代数的。我们现在用归纳法来研究dimL。当然,如果dimL = 0,则结果是平凡的。 如果dim L> 0,则根据线性代数群的结构理论,存在一维con-n,连通子群A≤L。根据引理3.1,存在一个可定义的一维子群K G,其中π(K)=A。通过归纳法(或者仅仅是dimK = 1的事实),K是代数的。设N是G的由K的共轭生成的子群。 根据齐伯不可分解定理,有许多步骤,因此是代数的。 如果NJ:= π(N),则我们有正合序列1→N→G→L/NJ→1。当A≤NJ时,dimL/NJ
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