沙特国王大学学报一种面向CAM/CAD/CAE应用L.奥拉齐湾雷贾尼DISMI Department of Sciences and Methods for Engineering，University of Modena and Reggio Emilia，Via Amendola 2，42122 Reggio Emilia，意大利阿提奇莱因福奥文章历史记录：收到2020年2020年5月13日修订2020年6月7日接受2020年6月11日在线提供关键词：投影方法三角网格顶点法线参数化双线性投影连续投影A B S T R A C T提出了一种三角网格该算法使用在三角形顶点处定义的法线来执行投影。投影方向不是事先选择的，而是取决于要投影的点：所提出的算法，称为快速连续投影方法（FCP），让投影方向在网格上连续变化。此外，该方向与用三角形网格近似的原始表面是一致的。该算法的优化版本也提出：这使用预先评估的矩阵，以减少计算时间。该算法可以有效地用于需要将大量点投影到粗网格上的情况，例如，生成用于激光雕刻/铣削的扫描矢量。©2020作者（S）。由爱思唯尔公司出版代表沙特国王大学这是一个开放的访问CC BY-NC-ND许可证下的文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍在3D表面表示和建模的现有方法之间，三角形网格和NURBS（非均匀有理基样条）仍然是最广泛使用的（Pottmann等人，2015）分别在非结构化和结构化参数表示的情况下。然而，虽然NURBS可以准确和连续地表示多种形式的3D对象，但代价是更高的数学复杂性（Chang和Chen，2011），三角形网格是不连续的，但允许快速计算，特别是在投影，对象之间的交叉，路径计算等情况下。（Guo等人，2019年 ） 。 存 在 连 续 性 和 快 速 计 算 都 需 要 的 情 况 。 给 出 了 在 CAE（Computer Aided Engineering）应用中，用六面体或四面体网格进行离散，生成四边形、双线性或三角形面片的实例。研究了第一类网格上的连续投影问题* 通讯作者：DISMI -工程科学与方法系， 摩德纳和雷焦艾米利亚大学，VialeAmendola 2，42122 Reggio Emilia，意大利。电子邮件地址：barbara. unimore.it（B. Reggiani）。沙特国王大学负责同行审查并由（Ramsey等人，2004），并且该算法作为零件的激光硬化的示例在进行了一些修改的情况下实现（Tani等人，2007），其中还需要通过有限元法（FEM）或有限体积法（FVM）求解方案在离散网格上求解3D热流方程。离散网格几何的法向同余和几个算子的详细描述可以在（Sun等人，2016），其中作者给出了几乎彼此平行的三角形之间的线全等映射的示例。将3D特征从纹理空间映射到网格空间的另一种方法在（Porumbescu等人，2005年）。在这项工作中，在纹理空间中的三角形被挤出生成棱柱，随后被划分成用于将点从纹理空间映射到网格空间的矩形四面体。该方法可用于在网格上分布3D对象，但它需要非常复杂的生成棱柱的拓扑管理在普遍使用的三角形网格的情况下，除了（O'Rourke，1998）中的基本几何算法之外，据作者所知，在文献中没有提出任何关于连续投影方法的建议，该方法可以在CAM中用于生成用于自由形式部件的激光雕刻的扫描矢量（Schmidt等人， 2018年）。在处理部件期间，激光头被放置在给定位置处，然后，从该位置处理部件的特定区域，在传递到下一个头放置之前在不同层处生成2D激光扫描矢量。因此，考虑到激光头位置的不连续性，https://doi.org/10.1016/j.jksuci.2020.06.0051319-1578/©2020作者。由爱思唯尔公司出版代表沙特国王大学这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。制作和主办：Elsevier可在ScienceDirect上获得目录列表沙特国王大学学报杂志首页：www.sciencedirect.comL. 奥拉齐湾Reggiani/沙特国王大学学报1241ΣΣð Þ被CAM用来表示在每个放置中要扫描的不同三角形片（Cuccolini等人，2013年）的报告。此外，CAM已经将待雕刻/铣削的零件处理为具有复杂形貌的精细三角形网格在这种情况下，为了描绘激光路径，必须在空间中将大量点连续投影到放置三角形上，因此要求具有快速算法以将点投影到属于三角形网格的三角形此外，投影方向的变化的连续性要求具有与实部曲率一致的激光扫描向量为了正确地加工零件，激光射线必须在与局部法线的最大角度内撞击工作表面，因为角度的突然变化导致标记质量的美学降级所提出的方法的代表性方案在图1中报道，改编自（Cuccolini等人，2013），其表示待激光雕刻的工件的部分。在图中，连续的黑线是工件的轨迹，蓝线是包含要投影的点P的细网格，虚线是近似工件的粗网格的三角形T的轨迹，ni是顶点法线，nT是三角形T的法线.将P连接到Pproj的绿色向量（通常不与nT对齐）是所请求的投影。在激光加工应用中，待投影的点的数目Np远大于放置三角形的数目Nt，前者来自具有期望数目的点的在105和107之间，后者通过粗离散化，工件的三角形不超过102A~103，每个三角形对应当通过为每个三角形实现原始投影矩阵来投影大的点集2. FCP方法如引言部分所述，新的FCP方法使用在网格顶点处定义的法线（图1）。 2左）。通常，这些由用于管理三角形网格的软件计算和提供，但如果它们不可用或与真实几何形状不一致，则可以按照（Hege和Polthier，2011）中的建议进行计算 输入是具有顶点Vig;i<$0; 1; 2的网格三角形T，以及要投影到三角形T上的点Pg<$x g yg z g（图10）。 其中下标“g”代表在“全球参照系”中表示的量。投影方向d是未知的，与通常的标准投影或射线跟踪相反2.1. 预处理该 问 题 首 先 被 转 换 为 二 维 问 题 ， 类 似 于 （ Jones ， 1995 ） 和（Baldwin和Weber，2016），通过将T视为位于xy平面上。最简单的方法是计算平移和旋转矩阵来变换T，使V0位于原点，V1位于x轴，V2位于xy平面。得到的变换矩阵，变换后的顶点Vi½V i0V i1V i2]和的转化顶点对于每个三角形，法线ni<$1/2ni0ni1ni2]（i<$0;1;2）都可以计算一次响应于扫描头放置， 这个和类似的问题因此，需要一种快速投影算法，该算法确保投影方向相对于要投影的点的位置的连续变化，被称为FCP（快速连续投影）方法的所提出的原始算法已经被认为通过确定投影的存在并使用保证相邻三角形之间的投影连续性的过程来计算投影点来满足这些要求，如Phong着色方法（Phong，1975）中的顶点法线插值。然而，所提出的方法的效率更-Fig. 1.待激光雕刻的工件的截面（黑线：工件的迹线;蓝线：具有待投影的点P的精细网格;虚线：近似工件的粗网格的三角形T的迹线; ni：顶点法线; nT三角形T的法线;绿色矢量：所请求的投影）。在预处理步骤中的点P_g，在激光矢量生成的情况下是强制性的步骤：点P_g被变换为点P_y[z]，投影点P_proj在局部坐标系中被计算，然后它将被变换回全局参考坐标系。这个阶段的计算成本是O<$N p<$Nv<$N，其中Nv是网格顶点的数量。理想情况下，在应用该方法之前，检查P是否在代表每个控制卷的轴对齐边界框中（图11）。 2右），其中每个点实际上都投影在T上。这些半空间由连接gni和ni1mod 3得到的三个双线性曲面所限定，这三个双线性曲面被z/zpmax处的平面截断。适当地选择zpmax的值，并且对于激光雕刻矢量的实际计算，其受到表征光学系统的焦深的限制，并且其表示工件与待雕刻的网格然后，在进一步进行计算之前，只需检查P是否在该边界框内，在最坏情况下的计算成本为ONp网格所要求的规则性是给定三角形的三个顶点法线都朝向z轴的正方向，如图所示。3.第三章。2.2. FCP算法所提出的方法本身开始于构造位于平面p上的仿射三角形Tz，该平面p包含点P并且平行于T（图3）。距离z来自预处理阶段的旋转平移。Tz的每个顶点Ui通过将平面p与以法线ni为方向并通过原始三角形顶点Vi的直线相交而获得;这由以下等式合成：UizViniri0; 1; 21其中ri是对应顶点Vi和Ui。可以提及的是，对顶点Ui的逆时针方向的检查保证了以下方法的一致性以及在1242L. 奥拉齐湾Reggiani/沙特国王大学学报ð Þ ð Þ ð Þt¼u0w1-u1w0¼ðÞð Þ ð Þ ð Þn12n02n12n02图二. 在左侧，三角形网格的顶点法线显示为蓝色，在右侧，对应的控制体积显示为蓝色。V1-V0V/V2-V0w¼Pproj-V0#2016年图三. 建议方法使用的主要数量。在凹网格的情况下给定三角形相反，在具有凸区域的网格的情况下，一些顶点法线ni可以在z中的负方向上定向。据推测，该方法只能在这些条件之外应用。随后，uz，vz和平行于xy平面的wz，定义（图）（3）：uzU1z-U0zuz0uz10]可以通过下式计算所需的投影Pproj：Pproj¼V0usvt#7因此，投影的方向d以双线性方式依赖于P，即，整个过程等效于将P投影到T上，方向d由下式给出dn0n1-n0sn2-n0t#8最后一个表达式表明，该方法允许三角形参数域上的投影方向按要求连续变化此外，由于在三角形网格中，法线属于顶点并且因此由相邻三角形共享，因此在排除参数体积之间的自相交的情况下，在整个网格上隐含地确保投影方向变化的这种连续性2.3. 矩阵形式：优化的FCP算法进一步的优化包括以矩阵形式重写方程，并预先计算仅依赖于原始三角形而不依赖于要投影的点的所有矩阵。这当要投影到每个三角形上的点的数量很高时，可以大大加快计算速度。通过替换Eqn.（一）[vzU2z-U0zvz0vz10]wzP-U0zwz0wz10]ð2Þ到Eqn。（2），uz变为：uzV 1n1z-V 0-n0zV 1-V 0。n1-n0z#9然后，可以计算P在T_z_z同样，对于vz和WZ。 接下来，让我们定义：发件人：wzuzsvzt#3经过计算，得到了准-b00¼n00=n02b01¼n01=n02ð Þ ð Þ通过以下方式获得度量位置sv1w0-v0w1u0v1-u1v0#1440u0vz 1-u 1v 0点P包含在三角形Tz中，如果：8>s≥0t≥0#20505;，b10¼n10=n12#10b11¼n11=n12b20¼n20=n22b21¼n21=n22根据定义，向量uz，vz和wz平行于xy平面，而原始三角形已在这样的V0位于原点，V1位于x轴，V2位于xy平面。等式（9）可以改写如下：s≤1然后假设P在Tzuz010-b00V10-V00我的天10-b00V10我的天啊与搜索投影Pprojon T：通过定义（图）。（3）：uz1b11-b01V11-V011b11-b0101ð11Þ>：L. 奥拉齐湾Reggiani/沙特国王大学学报1243TT2¼ðÞ沪公网安备31011502000112号[/]类似地，对于v和w：UU<$UTUvz0vz120-b00伏20-V00伏B21V2101拉法茨河120-b00V20伏B2121V拉法茨河1VVVVUV¼UTV#17岁2012年12月12日2x 32x3VW¼VTW对于每个三角形T，这些矩阵可以被预先评估一次w z0-V 00·6 y 7¼ 1 0-b000分·6 y 7#11在它上面投影点一旦点P必须被投影，WZ101-b01-V0164z7501-b01064z75必须创建平凡向量pxyz1和zz1并且必须计算以下因素：或者，用更简洁的形式：ð13ÞuuzzT·UU·zuzUz#14vzVz#15vvzzT ·VV·zuvzzT·UV·zuwzzT·UW·P vwzzT·VW·P#18岁WP#1616计算投影Pproj在三角形上所需的矩阵是角T是通过以下关系式获得的UU、UV、VV、UW和VW：见图4。SFCP方法适用于只有一个曲率方向的曲面。浅灰色：三角形;半透明红色：控制体积;绿色：投影向量。这些因素允许用以下等式来评估投影点Pproj的参数位置θs;tθsuvzvwz-vvzuwz#19uvz-uuzvv ztuvzuwz-uuzvwzuvz2-uuzvvz条件（5）必须被验证，以使投影Pproj包含在三角形T中，而等式（1）（7）给出了结果投影。3. 结果图4示出了离散化的单个曲面的情况，其中所有实体由第2节中定义的所提出的方法使用。此示例网格突出显示了此方法如何沿一个方向投影点，该方向连续变化并与原始曲面的曲率一致。这是因为在计算近似原始曲面的网格时会计算顶点法线，因此它们携带的信息在三角形中找不到。实际上，主要出于两个原因，关于沿着三角形法线的方向投影，存在一致性的实质性增益。第一个继承了所提出的方法“遵循”原始表面曲率，如图5所示。其中报告同一网格的两个正交视图，而沿三角形法线投影将导致在所有网格上投影方向的不连续性。此外，FCP方法将表面周围的空间细分为不重叠和不重合的体积，其中没有不能投影点的区域，图五、在 图1的同一网格上的投影方向的连续变化的细节。 4：左）侧视图;右）正视图。浅灰色：三角形;绿色：投影向量;蓝色：顶点法线。¼-b01-V·-b01¼·#1244L. 奥拉齐湾Reggiani/沙特国王大学学报如图2右侧所示，其中第2.1节中描述的控制体积以半透明红色示出。表1. 所提出的算法的两个版本的平均计算时间图6和图7是指近似于自由曲面在图7中，选择视图方向是为了更清楚地显示投影方向的连续变化以及它如何遵循顶点法线。数量的突出部标准算法[106预测]优化算法[106预测]时间比率标准/优化[-]一般网格的进一步例子报告在图。8.第八条。在表1中报告了所提出的算法的两个版本的平均计算时间。测量结果为-见图6。在自由曲面的情况下，投影结果。浅灰色：三角形;半透明红色：控制体积的侧面;图7.第一次会议。图 中所示的投影细节。 六、网格三角形（浅灰色）及其顶点法线（蓝色）：注意绿色的投影向量如何根据这些法线连续改变方向。电话：+86-10 - 6666666传真：+86-10 - 66666666在Core i7笔记本电脑上形成，不考虑预处理和后处理时间。在优化算法的情况下，测量还包括矩阵构建时间。这样做是为了比较两个版本的纯粹性能平均而言，优化算法比标准版本快约10%由于矩阵所需的空间，这种增益是以一些额外的存储占用为代价的尽管如此，优化版本的速度优势弥补了它所需的额外内存。4. 讨论和结论该算法旨在为三角形网格上点的连续投影提供显式解决方案。该问题是由作者处理，特别是关于激光加工技术，报告的例子是在这些领域中非常常见的情况下的代表。工作的主要成果可归纳如下：所提出的算法给出的投影方向的连续变化可以在一些应用中得到高度赞赏，其中需要更精确地表示该新算法允许投影体积的不重叠和全等细分，该特征在对路径重叠结果不鲁棒的激光处理的情况下是在激光加工中，为了有效，射线必须在与局部法线在自由曲面的情况下，垂直于粗网格的三角形投影可能导致不正确的结果，而网格细化将导致过大的扫描头放置。竞争利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作。见图8。 算法结果的进一步说明：a）自由曲面; b）球冠。浅灰色：三角形;蓝色：顶点法线;绿色：投影向量。●●●●L. 奥拉齐湾Reggiani/沙特国王大学学报1245确认作者要感谢Michele Cotogno博士在这项工作的发展中给予的宝贵和不可估量的支持这项研究没有从公共、商业或非营利部门的资助机构获得任何具体的资助。附录A.补充数据本文的补充数据可在https://doi.org/10.1016/j.jksuci.2020.06.005上找到。引用Baldwin，D.，韦伯，M.，2016.坐标变换法快速射线三角形求交Journal of ComputerGraphics Techniques（JCGT）5，39-49.张，K.- H、陈春，2011.三维形状工程和设计参数化。计算-辅助设计申请8，681-692中所述。https://doi.org/10.3722/cadaps.2011.681-692。Cuccolini，G.，奥拉齐湖Escherato，A.，2013. 5轴计算机辅助激光铣削。选购配件激光工程51，749-760。https://doi.org/10.1016/j.optlaseng.2013.01.015网站。郭杰，丁福，Jia，X.，Yan，D.- M.，2019. 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