3. 证明 R = {<x, y>| |x - 8| = |y - 8|, x, y ∈ I} 为等价关系, 并确定等价类,商集
时间: 2024-06-04 08:10:12 浏览: 5
为证明 R = {<x, y>| |x - 8| = |y - 8|, x, y ∈ I} 为等价关系,需要满足以下三个条件:
1. 自反性:对于任意的 x ∈ I,都有 <x, x> ∈ R。因为 |x - 8| = |x - 8|,所以自反性成立。
2. 对称性:对于任意的 <x, y> ∈ R,都有 <y, x> ∈ R。因为 |x - 8| = |y - 8|,所以 |y - 8| = |x - 8|,所以 <y, x> ∈ R。
3. 传递性:对于任意的 <x, y>,<y, z> ∈ R,都有 <x, z> ∈ R。因为 |x - 8| = |y - 8|,|y - 8| = |z - 8|,所以 |x - 8| = |z - 8|,所以 <x, z> ∈ R。
由此可知,R 是一个等价关系。
接下来确定等价类:
对于任意的 x ∈ I,等价类 [x] = {y ∈ I | <x, y> ∈ R},即所有与 x 满足 |x - 8| = |y - 8| 的 y 值。
当 x < 8 时,有 y = 16 - x 和 y = x 两种情况,等价类为 [x] = {16 - x, x}。
当 x = 8 时,等价类为 [x] = {8}。
当 x > 8 时,有 y = x - 16 和 y = x 两种情况,等价类为 [x] = {x - 16, x}。
最后确定商集:
集合 { I/{R} } 是 R 的商集,其中 I/{R} 表示 R 对 I 进行划分后的所有等价类构成的集合。
因为等价类有三种情况,即 {16 - x, x},{8} 和 {x - 16, x},所以商集为 { {16 - x, x}, {8}, {x - 16, x} }。