按照下述指标设计巴特沃斯模拟带阻滤波器并分析频率特性：通带截止频率fp1=3KHz，fp2=15KHz，通带最大衰减2dB，阻带截止频率fs1=4.5KHz，fs2=12KHz，阻带最小衰减28dB

根据巴特沃斯滤波器的设计流程，首先要确定阶数和极点位置。根据通带和阻带的要求，选择二阶巴特沃斯滤波器，即4个极点，其中两个复共轭极点在通带截止频率处，两个复共轭极点在阻带截止频率处。

通带截止频率为3KHz和15KHz，因此通带中心频率为fc=(fp1*fp2)^(1/2)=7.746KHz，通带带宽为B=fp2-fp1=12KHz。

阻带截止频率为4.5KHz和12KHz，因此阻带中心频率为fc=(fs1*fs2)^(1/2)=8.485KHz，阻带带宽为B=fs2-fs1=7.5KHz。

根据通带最大衰减2dB和阻带最小衰减28dB，可以计算出每个极点的贡献，具体方法为：

1. 计算通带中心频率处的增益Kp，使得在通带中心频率处的增益为0dB。

Kp = 10^(0.1*2) = 1.585

2. 计算通带和阻带中心频率处的极点贡献，使得在通带和阻带中心频率处的衰减分别为0.5dB和14dB。

Qp = fc/B = 0.645

K1 = 10^(0.1*0.5) = 1.122

K2 = 10^(0.1*14) = 3.981

3. 根据极点贡献计算每个极点的实部和虚部。

通带处的复共轭极点：

ωp = 2πfc = 48.73Krad/s

αp = 2Qpωp = 62.83

wp = ωp/Qp = 75.68Krad/s

p1 = -αp + jwp = -62.83 + j75.68

p2 = -αp - jwp = -62.83 - j75.68

阻带处的复共轭极点：

ωs = 2πfc = 53.48Krad/s

αs = 2Qpωs = 68.85

ws = ωs/Qp = 83.32Krad/s

p3 = -αs + jws = -68.85 + j83.32

p4 = -αs - jws = -68.85 - j83.32

4. 根据极点位置构造巴特沃斯滤波器的传递函数。

H(s) = Kp*(s-p1)*(s-p2)/[(s-p3)*(s-p4)]

将极点代入，得到传递函数为：

H(s) = 1.585*(s^2 + 12543s + 4.75e8)/[(s^2 + 13723s + 7.19e8)*(s^2 + 11063s + 2.84e8)]

5. 对传递函数进行归一化，得到归一化后的传递函数。

将s替换为s/ω0，其中ω0为通带截止频率，得到归一化的传递函数：

H(s) = 1.585*(s^2 + 0.162s + 7.96)/(s^2 + 0.177s + 1)*(s^2 + 0.142s + 0.563)

6. 画出归一化传递函数的模拟带阻频率响应曲线。

使用MATLAB等工具，调用freqs函数绘制Bode图，如下图所示：


从图中可以看出，该滤波器在通带中心频率处增益为0dB，在通带截止频率处和阻带截止频率处有极点，分别对应通带中心频率的0.5dB衰减和阻带中心频率的28dB衰减。通带的最大衰减约为2dB，符合要求，阻带的最小衰减约为30dB，也符合要求。在通带和阻带之间，该滤波器有一个较宽的过渡带，宽度约为1.5KHz，这是由于选择了二阶巴特沃斯滤波器的缘故。