当x>0 判断ln((1+x)/x) - (1/x+1)的正负
时间: 2024-05-20 07:17:33 浏览: 43
首先,我们可以将 ln((1+x)/x) - (1/x+1) 化简为 ln(1+x) - ln(x) - 1/(x+1),因为 ln(a/b) = ln(a) - ln(b)。
然后,我们可以对 ln(1+x) - ln(x) 进行泰勒展开,得到 ln(1+x) - ln(x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...,因为 ln(1+x) 在 x=0 处的一阶导数为 1/(1+x),即 f'(0) = 1,二阶导数为 -1/(1+x)^2,即 f''(0) = -1。
因此,当 x>0 时,ln(1+x) - ln(x) > x - x^2/2,因为 x^3/3 和更高阶的项都是正的。又因为 1/(x+1) < 1/x,所以 ln(1+x)/x - 1/(x+1) > (x - x^2/2)/x - 1/(x+1) = (1 - x/2)/(x+1) > 0。
因此,ln((1+x)/x) - (1/x+1) 的正负取决于 ln(1+x)/x - 1/(x+1) 的正负,而 ln(1+x)/x - 1/(x+1) 在 x>0 时是正的,因此 ln((1+x)/x) - (1/x+1) 也是正的。
相关问题
limt->0 [ln(sin2t+cost)]/t的求导过程
我们可以使用洛必达法则来求解这个极限:
limt->0 [ln(sin2t cost)]/t
= limt->0 [ln(sin2t) + ln(cost)]/t
= limt->0 [(ln(sin2t) - ln(2t)) + ln(2) + ln(cost)]/t
= limt->0 [(ln(sin2t/2t) - ln(2)) + ln(2) + ln(cost)]/t (使用ln(a/b) = ln(a) - ln(b)的性质)
= limt->0 [ln(sin2t/2t)/2t * 2t + ln(2)/t + ln(cost)/t]/t
= limt->0 [ln(sin2t/2t)/2t * 2 + ln(2)/t + ln(cost)/t]/1 (使用ln(x)/x的极限为1的性质)
= 2 * limt->0 ln(sin2t/2t)/2t + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t
= 2 * limt->0 sin2t/2t / (2 * cos2t/2t) + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t (使用ln(x)的导数为1/x的性质)
= 2 * limt->0 sin2t/2t * cos2t/2t / 2 + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t (使用乘法法则)
= limt->0 sin2t / t + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t
= 0 + 0 + ln(1)/1 (使用sin x / x的极限为1的性质)
= 0
因此,limt->0 [ln(sin2t cost)]/t的导数为0。
用matlab 绘制ln1-x/1+x,x区间-1到1
可以使用MATLAB中的plot函数绘制该函数的图像。具体实现方法如下:
```
x = linspace(-1, 1, 1000); % 定义x的取值范围
y = log(1-x) - log(1+x); % 计算函数值
plot(x, y) % 绘制函数图像
title('ln(1-x)/(1+x)') % 添加图像标题
xlabel('x') % 添加x轴标签
ylabel('y') % 添加y轴标签
```
这段代码将在MATLAB中绘制出ln(1-x)/(1+x)在x区间-1到1的图像。