级数∑a^n×n!÷n^n是否收敛
时间: 2024-05-21 14:15:08 浏览: 15
我们可以使用比值测试来判断级数∑a^n×n!÷n^n是否收敛。具体步骤如下:
1. 计算级数的相邻两项的比值lim(n->∞)|a^(n+1)×(n+1)!÷(n+1)^(n+1)×n!÷a^n×n!÷n^n|。
2. 化简比值式,得到lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n。
3. 当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n<1时,级数收敛;当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n>1时,级数发散;当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n=1时,比值测试无法判断。
因此,我们需要对题目中给出的a进行讨论:
当a=0时,级数的每一项都为0,级数收敛。
当a≠0时,我们可以计算出lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n=lim(n->∞)|a|×lim(n->∞)(n+1)÷n|^n=|a|×e,其中e为自然对数的底数。因此:
当|a|<1/e时,级数收敛;
当|a|>1/e时,级数发散;
当|a|=1/e时,比值测试无法判断。
综上所述,级数∑a^n×n!÷n^n当且仅当|a|≤1/e时收敛。
相关问题
级数∑1/n×n^1/n是否收敛
我们可以使用 Cauchy 科技判别法来判断这个级数的收敛性。考虑以下式子:
lim(n→∞) (1/n×n^(1/n+1)) / (1/n+1×n^(1/n+1/n+1))
= lim(n→∞) (n+1)/n^(1/n+2)
= 1
因此,由 Cauchy 科技判别法可知,当 n 趋向于正无穷时,级数∑1/n×n^1/n 与∑1/n^(1+1/n) 同时收敛或同时发散。而我们知道∑1/n^(1+1/n) 是一个发散的级数,因此,级数∑1/n×n^1/n 也是一个发散的级数。
∑1/n^(1+1/n)的收敛性
要判断级数∑1/n^(1+1/n)的收敛性,可以使用比较判别法。
首先,由于对于任意正整数n,都有n^(1/n)≤2,所以有:
1/n^(1+1/n) ≤ 1/n^(1+1/n)×n^(1/n) = 1/n^((n+1)/n)
考虑级数∑1/n^((n+1)/n),使用比较判别法,将每一项与调和级数的对应项比较:
1/n^((n+1)/n) ≤ 1/n
由于调和级数∑1/n发散,所以由比较判别法可知,级数∑1/n^((n+1)/n)也发散。
综上所述,级数∑1/n^(1+1/n)也发散。
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