级数∑a＾n×n！÷n＾n是否收敛

我们可以使用比值测试来判断级数∑a＾n×n！÷n＾n是否收敛。具体步骤如下：

1. 计算级数的相邻两项的比值lim(n->∞)|a^(n+1)×(n+1)!÷(n+1)^(n+1)×n!÷a^n×n!÷n^n|。

2. 化简比值式，得到lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n。

3. 当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n<1时，级数收敛；当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n>1时，级数发散；当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n=1时，比值测试无法判断。

因此，我们需要对题目中给出的a进行讨论：

当a=0时，级数的每一项都为0，级数收敛。

当a≠0时，我们可以计算出lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n=lim(n->∞)|a|×lim(n->∞)(n+1)÷n|^n=|a|×e，其中e为自然对数的底数。因此：

当|a|<1/e时，级数收敛；

当|a|>1/e时，级数发散；

当|a|=1/e时，比值测试无法判断。

综上所述，级数∑a＾n×n！÷n＾n当且仅当|a|≤1/e时收敛。

相关问题

级数∑1/n×n^1/n是否收敛

我们可以使用 Cauchy 科技判别法来判断这个级数的收敛性。考虑以下式子：

lim(n→∞) (1/n×n^(1/n+1)) / (1/n+1×n^(1/n+1/n+1))

= lim(n→∞) (n+1)/n^(1/n+2)

= 1

因此，由 Cauchy 科技判别法可知，当 n 趋向于正无穷时，级数∑1/n×n^1/n 与∑1/n^(1+1/n) 同时收敛或同时发散。而我们知道∑1/n^(1+1/n) 是一个发散的级数，因此，级数∑1/n×n^1/n 也是一个发散的级数。

∑1/n＾(1+1/n)的收敛性

要判断级数∑1/n^(1+1/n)的收敛性，可以使用比较判别法。

首先，由于对于任意正整数n，都有n^(1/n)≤2，所以有：

1/n^(1+1/n) ≤ 1/n^(1+1/n)×n^(1/n) = 1/n^((n+1)/n)

考虑级数∑1/n^((n+1)/n)，使用比较判别法，将每一项与调和级数的对应项比较：

1/n^((n+1)/n) ≤ 1/n

由于调和级数∑1/n发散，所以由比较判别法可知，级数∑1/n^((n+1)/n)也发散。

综上所述，级数∑1/n^(1+1/n)也发散。