级数∑a＾n×n！÷n＾n是否收敛

我们可以使用比值测试来判断级数∑a＾n×n！÷n＾n是否收敛。具体步骤如下：

1. 计算级数的相邻两项的比值lim(n->∞)|a^(n+1)×(n+1)!÷(n+1)^(n+1)×n!÷a^n×n!÷n^n|。

2. 化简比值式，得到lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n。

3. 当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n<1时，级数收敛；当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n>1时，级数发散；当lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n=1时，比值测试无法判断。

因此，我们需要对题目中给出的a进行讨论：

当a=0时，级数的每一项都为0，级数收敛。

当a≠0时，我们可以计算出lim(n->∞)|a×(n+1)÷n|^n=lim(n->∞)|a|×lim(n->∞)(n+1)÷n|^n=|a|×e，其中e为自然对数的底数。因此：

当|a|<1/e时，级数收敛；

当|a|>1/e时，级数发散；

当|a|=1/e时，比值测试无法判断。

综上所述，级数∑a＾n×n！÷n＾n当且仅当|a|≤1/e时收敛。

相关问题

级数∑1/n×n^1/n是否收敛

我们可以使用 Cauchy 科技判别法来判断这个级数的收敛性。考虑以下式子：

lim(n→∞) (1/n×n^(1/n+1)) / (1/n+1×n^(1/n+1/n+1))

= lim(n→∞) (n+1)/n^(1/n+2)

= 1

因此，由 Cauchy 科技判别法可知，当 n 趋向于正无穷时，级数∑1/n×n^1/n 与∑1/n^(1+1/n) 同时收敛或同时发散。而我们知道∑1/n^(1+1/n) 是一个发散的级数，因此，级数∑1/n×n^1/n 也是一个发散的级数。

修改以下内容，使其规范，数学符号正确。首先，我们可以将级数 ∑n=1∞n(an−an−1) 拆分成 ∑n=1∞nan − ∑n=1∞(n-1)an，然后对其进行变形。 我们知道数列ₙ naₙ 收敛，因此存在极限 L，即 limₙ→∞naₙ=L。根据级数收敛的定义，对于任意的 ε>0，都存在 N>0，使得当 n>N 时，∑k=n+1∞ak<ε。 因此，对于任意的 n>N，我们可以将 ∑k=1n ak 拆分成 ∑k=1N ak 和 ∑k=N+1n ak 两部分，然后对后一部分应用级数收敛的定义： ∑k=N+1n ak = (a(N+1) + a(N+2) + ... + an) < ε/(N+1) + ε/(N+2) + ... + ε/n = ε(1/(N+1) + 1/(N+2) + ... + 1/n) 由于级数 ∑n=0∞an 收敛，因此对于任意的 ε>0，都存在 M>0，使得当 n>M 时，∑k=n+1∞ak<ε。 因此，对于任意的 n>M，我们可以将 ∑k=1n ak 拆分成 ∑k=1M ak 和 ∑k=M+1n ak 两部分，然后对后一部分应用级数收敛的定义： ∑k=M+1n ak = (a(M+1) + a(M+2) + ... + an) < ε/(M+1) + ε/(M+2) + ... + ε/n = ε(1/(M+1) + 1/(M+2) + ... + 1/n) 现在，我们来考虑级数 ∑n=1∞n(an−an−1)。 对于任意的 n>N，我们有： |n(an−an−1)| = n|an−an−1| ≤ n(∑k=n+1∞ak) 因此， ∑n=N+1∞|n(an−an−1)| ≤ ∑n=N+1∞n(∑k=n+1∞ak) = ∑n=N+1∞∑k=n+1∞nak = ∑k=N+2∞∑n=N+1k−1ak ≤ ∑k=N+2∞(ε/k) = ε(1/(N+1) + 1/(N+2) + ... ) 因此，级数 ∑n=1∞n(an−an−1) 收敛。 类似地，我们可以证明，当级数 ∑n=0∞an 发散时，级数 ∑n=1∞n(an−an−1) 也发散。 综上所述，当数列ₙ naₙ 收敛，且级数 ∑n=0∞an 收敛时，级数 ∑n=1∞n(an−an−1) 也收敛。

首先，我们可以将级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(a_n-a_{n-1})$ 拆分成 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n - \sum_{n=1}^{\infty} (n-1)a_n$，然后对其进行变形。

我们知道数列 $\{na_n\}$ 收敛，因此存在极限 $L$，即 $\lim_{n\to\infty} na_n = L$。根据级数收敛的定义，对于任意的 $\epsilon>0$，都存在 $N>0$，使得当 $n>N$ 时，$\sum_{k=n+1}^{\infty} a_k<\epsilon$。

因此，对于任意的 $n>N$，我们可以将 $\sum_{k=1}^{n} a_k$ 拆分成 $\sum_{k=1}^{N} a_k$ 和 $\sum_{k=N+1}^{n} a_k$ 两部分，然后对后一部分应用级数收敛的定义：

$$\sum_{k=N+1}^{n} a_k = (a_{N+1} + a_{N+2} + ... + a_n) < \frac{\epsilon}{N+1} + \frac{\epsilon}{N+2} + ... + \frac{\epsilon}{n} = \epsilon\left(\frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} + ... + \frac{1}{n}\right)$$

由于级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛，因此对于任意的 $\epsilon>0$，都存在 $M>0$，使得当 $n>M$ 时，$\sum_{k=n+1}^{\infty} a_k<\epsilon$。

因此，对于任意的 $n>M$，我们可以将 $\sum_{k=1}^{n} a_k$ 拆分成 $\sum_{k=1}^{M} a_k$ 和 $\sum_{k=M+1}^{n} a_k$ 两部分，然后对后一部分应用级数收敛的定义：

$$\sum_{k=M+1}^{n} a_k = (a_{M+1} + a_{M+2} + ... + a_n) < \frac{\epsilon}{M+1} + \frac{\epsilon}{M+2} + ... + \frac{\epsilon}{n} = \epsilon\left(\frac{1}{M+1} + \frac{1}{M+2} + ... + \frac{1}{n}\right)$$

现在，我们来考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(a_n-a_{n-1})$。

对于任意的 $n>N$，我们有：

$$|n(a_n-a_{n-1})| = n|a_n-a_{n-1}| \leq n\left(\sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\right)$$

因此，

$$\sum_{n=N+1}^{\infty} |n(a_n-a_{n-1})| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} n\left(\sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\right) = \sum_{n=N+1}^{\infty} \sum_{k=n+1}^{\infty} na_k = \sum_{k=N+2}^{\infty} \sum_{n=N+1}^{k-1} a_k \leq \sum_{k=N+2}^{\infty} \frac{\epsilon}{k} = \epsilon\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}+...\right)$$

因此，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(a_n-a_{n-1})$ 收敛。

类似地，我们可以证明，当级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 发散时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(a_n-a_{n-1})$ 也发散。

综上所述，当数列 $\{na_n\}$ 收敛，且级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(a_n-a_{n-1})$ 也收敛。