设D是无平方因数的整数。证明集合Q[√D]={a+b√D | a,b∈Q}对于通常的加法和乘法构成一个域。
时间: 2024-06-06 15:07:33 浏览: 8
首先证明Q[√D]对于加法和乘法封闭:
对于任意的a1+b1√D,a2+b2√D∈Q[√D],有:
(a1+b1√D)+(a2+b2√D)=(a1+a2)+(b1+b2)√D∈Q[√D]
(a1+b1√D)×(a2+b2√D)=(a1a2+b1b2D)+(a1b2+a2b1)√D∈Q[√D]
因此Q[√D]对于加法和乘法封闭。
其次证明Q[√D]满足加法和乘法的结合律、交换律、分配律:
对于任意的a,b,c∈Q[√D],有:
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
加法交换律:a+b=b+a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法交换律:a×b=b×a
分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
因此Q[√D]满足加法和乘法的结合律、交换律、分配律。
最后证明Q[√D]存在加法和乘法的单位元和逆元:
对于加法单位元0和乘法单位元1,容易验证它们满足加法和乘法的定义。
对于任意的a+b√D∈Q[√D],如果a+b√D≠0,则存在它的加法逆元-a-b√D,使得(a+b√D)+(-a-b√D)=0。同时,如果a+b√D≠0,则存在它的乘法逆元1/(a+b√D),使得(a+b√D)×1/(a+b√D)=1。
因此Q[√D]是一个域。
相关问题
已知a+b+2ab=14,求a+b可能的值
首先将已知条件 a+b+2ab=14 转化为 (a+1)(b+1)=15,因为 15 的因数有 1、3、5、15,所以可能的组合是:
- a+1=1,b+1=15,此时 a+b=0+14=14
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- a+1=5,b+1=3,此时 a+b=4+2=6
- a+1=15,b+1=1,此时 a+b=14+0=14
因此,a+b 可能的值为 6 或 14。
有a,b 2个正整数,a*b = 2048;a和b为何值a+b和最小
将2048分解质因数,得到2048 = 2^11。因为a和b都是正整数,所以它们的乘积为2048,那么a和b只能是2048的因数。因为2是质数,所以2048只能分解成2的次幂的乘积。因此,a和b只能是下列数中的一对:(1,2048),(2,1024),(4,512),(8,256),(16,128),(32,64),(64,32),(128,16),(256,8),(512,4),(1024,2),(2048,1)。
为了使a+b最小,我们需要找到一对a和b,使它们的和最小。因此,我们可以将上面的12对数按照a+b的值从小到大排序,得到:
(2048,1):a+b=2049
(1024,2):a+b=1026
(512,4):a+b=516
(256,8):a+b=264
(128,16):a+b=144
(64,32):a+b=96
(32,64):a+b=96
(16,128):a+b=144
(8,256):a+b=264
(4,512):a+b=516
(2,1024):a+b=1026
(1,2048):a+b=2049
因此,a+b最小的值为96,对应的a和b是64和32。