设一棵非空完全二叉树 T 的所有叶节点均位于同一层,且每个非叶结点都有 2 个子结点。若 T 有 k 个叶结点,则 T 的结点总数是: A. 2k−1 B. k2 C. 2k D. 2k−1
时间: 2023-06-24 17:03:19 浏览: 199
对于一个非空完全二叉树,它的叶节点数和深度是唯一确定的,所以我们可以根据叶节点数 k 来求出深度 h,进而求出节点总数。
对于深度为 h 的完全二叉树,它的叶节点数为 2^(h-1),所以我们可以通过下面的公式求出深度 h:
2^(h-1) ≤ k < 2^h
取对数可得:h-1 ≤ log2(k) < h,所以 h = ⌈log2(k+1)⌉。
另外,对于深度为 h 的完全二叉树,它的节点总数为 2^h - 1,所以我们可以根据深度 h 来求出节点总数:
2^h - 1 = 2^(⌈log2(k+1)⌉) - 1
所以答案为 D. 2^h - 1 = 2^(⌈log2(k+1)⌉) - 1 = 2^⌈log2(k+1)⌉ - 1.
相关问题
设一棵非空完全二叉树 t 的所有叶节点均位于同一层,且每个非叶结点都有 2 个子结点。若 t 有 k 个叶结点,则 t 的结点总数是:
### 回答1:
根据完全二叉树的性质,叶节点位于同一层,且每个非叶节点都有 2 个子节点,可以得知该树的高度为 log2(k)+1,因为叶节点数为 k,所以该树的总节点数为 2^(log2(k)+1)-1=2k-1。因此,t 的结点总数为 2k-1。
### 回答2:
我们可以根据题目给出的信息推出一些结论。首先非空完全二叉树有很明显的性质:如果该二叉树深度为d,则第d层上最多有2^(d-1)个结点。考虑到所有的叶节点在同一层,设该层的深度为h,则根据上述结论,该层上共有2^(h-1)个结点。因此,叶节点的个数k=2^(h-1)。
接下来考虑如何求解结点总数。设二叉树的总结点数为N,则可根据完全二叉树的性质,得出以下两个等式:
2^h - 1 = N (1)
2^(h-1) = k (2)
式子(2)告诉我们,h = log(k)+1,所以式子(1)可以改写为:
N = 2^h - 1 = 2^(log(k)+1) - 1 = 2log(k) + 1 - 1 = 2log(k)。
因此,t的结点总数为2log(k)。这也可以通过另一种思路得出,因为除了叶节点,每个结点都有两个子结点,所以非叶节点的个数为k-1,总节点数为2k-1,不过这种方法需要较多计算,不如上述方法简便。
综上所述,非空完全二叉树t的结点总数为2log(k)。
### 回答3:
根据完全二叉树的定义可知,若该完全二叉树的高度为h,则该完全二叉树的叶子结点数为2的h-1次方。又因为题目中规定了该完全二叉树的所有叶节点均位于同一层,因此该完全二叉树的高度即为该层的层数,即h=k。所以该完全二叉树的叶子结点数为2的k-1次方。
又因为该二叉树每个非叶结点都有2个子结点,所以该二叉树每一层的结点数均为2的i-1次方,其中i为该层所在的层数。如下图所示:
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
/ \ / \ / \ / \
8 9 10 11 12 13 14 15
如图所示,该完全二叉树一共有4层,即h=4,该完全二叉树共有15个结点,其中叶子结点数k=8,2的k-1次方为15,符合推论。
因为该完全二叉树的每一层的结点数均为2的i-1次方,所以该完全二叉树的结点数为1+2的1次方+2的2次方+...+2的(k-1)次方,即1+2+4+...+2的(k-1)次方。利用等比数列求和公式可得:
1+2+4+...+2的(k-1)次方=(2的k次方-1)/(2-1)=2的k次方-1
所以该完全二叉树的结点总数为2的k次方-1。
综上所述,该完全二叉树的结点总数为2的k次方-1。
非空完全二叉树的所有叶子节点均为同一层,且每个非叶子节点都有2个子节点,这个树长什么样子
一个非空完全二叉树的所有叶子节点均为同一层,且每个非叶子节点都有2个子节点的树长这样:
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
/ \
8 9
其中,数字代表节点,斜杠代表连线。根节点是1,它有左右两个子节点2和3;节点2有左右两个子节点4和5,节点3有左右两个子节点6和7;节点4有左右两个子节点8和9。叶子节点为8、9、5、6、7。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)