设A,B,C是任意集合,证明:(A-B)-C=A-(B∪C).要求写证明过程就可以
时间: 2024-02-23 19:56:00 浏览: 12
为了证明 $(A-B)-C=A-(B\cup C)$,我们需要证明两个集合互相包含。
证明 $(A-B)-C\subseteq A-(B\cup C)$
对于任意的 $x\in(A-B)-C$,根据集合的定义,$x\in A-B$ 且 $x\notin C$。即 $x\in A$ 且 $x\notin B$,同时 $x\notin C$。因此,$x\in A$ 且 $x\notin B\cup C$,即 $x\in A-(B\cup C)$。
证明 $A-(B\cup C)\subseteq (A-B)-C$
对于任意的 $y\in A-(B\cup C)$,根据集合的定义,$y\in A$ 且 $y\notin B\cup C$。因此,$y\in A$ 且 $y\notin B$,或者$y\in A-B$。但是,由于 $y\notin B\cup C$,所以 $y\notin C$。因此,$y\in (A-B)-C$,即 $y\in (A-B)-C$。
综上所述,我们证明了两个集合互相包含,即 $(A-B)-C=A-(B\cup C)$。
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设A,B,C是任意集合,证明:(A-B)-C=A-(B∪C)
为了证明 (A-B)-C=A-(B∪C),我们需要证明两个集合互相包含。
首先,我们证明左边的集合(A-B)-C是包含在右边的集合A-(B∪C)中的。
对于任意的x∈(A-B)-C,根据集合的定义,x属于A-B且x不属于C。即x属于A且x不属于B,同时x不属于C。因此,x属于A且x不属于B∪C,即x属于右边的集合A-(B∪C)。
接下来,我们证明右边的集合A-(B∪C)也是包含在左边的集合(A-B)-C中的。
对于任意的y∈A-(B∪C),根据集合的定义,y属于A且y不属于B∪C。因此,y属于A且y不属于B,或者y属于A-B。但是,由于y不属于B∪C,所以y也不属于C。因此,y属于(A-B)-C,即y属于左边的集合(A-B)-C。
综上所述,我们证明了两个集合互相包含,即(A-B)-C=A-(B∪C)。
设A,B,C是任意集合,证明: (1) (A-B) U (A-C)=A-(BM C); (2) A=(A-B) U (A-C) « AMBMC=Ф.
(1) 首先证明 (A-B) U (A-C) 包含于 A-(B∩C):
对于任意的 x∈(A-B) U (A-C),有两种情况:
1. 若 x∈A-B,则 x∈A 且 x∉B,因此 x∉B∩C,即 x∈A-(B∩C)。
2. 若 x∈A-C,则 x∈A 且 x∉C,因此 x∉B∩C,即 x∈A-(B∩C)。
综上,对于任意的 x∈(A-B) U (A-C),都有 x∈A-(B∩C),因此 (A-B) U (A-C) 包含于 A-(B∩C)。
接下来证明 A-(B∩C) 包含于 (A-B) U (A-C):
对于任意的 x∈A-(B∩C),有 x∈A 且 x∉B∩C,因此有两种情况:
1. 若 x∉B,则 x∈A-B,因此 x∈(A-B) U (A-C)。
2. 若 x∉C,则 x∈A-C,因此 x∈(A-B) U (A-C)。
综上,对于任意的 x∈A-(B∩C),都有 x∈(A-B) U (A-C),因此 A-(B∩C) 包含于 (A-B) U (A-C)。
综上所述,(A-B) U (A-C)=A-(B∩C)。
(2) 首先证明 A 包含于 (A-B) U (A-C):
对于任意的 x∈A,有两种情况:
1. 若 x∉B,则 x∈A-C,因此 x∈(A-B) U (A-C)。
2. 若 x∈B,则 x∈A-B,因此 x∈(A-B) U (A-C)。
综上,对于任意的 x∈A,都有 x∈(A-B) U (A-C),因此 A 包含于 (A-B) U (A-C)。
接下来证明 (A-B) U (A-C) 包含于 A:
对于任意的 x∈(A-B) U (A-C),有两种情况:
1. 若 x∈A-B,则 x∈A 且 x∉B,因此 x∈A。
2. 若 x∈A-C,则 x∈A 且 x∉C,因此 x∈A。
综上,对于任意的 x∈(A-B) U (A-C),都有 x∈A,因此 (A-B) U (A-C) 包含于 A。
综上所述,A=(A-B) U (A-C)。
接下来证明 AMBMC=Ф:
假设 AMBMC≠Ф,则存在至少一个元素 x∈AMBMC,也就是 x∈A 且 x∈B∩C。但是根据题目中的定义,x∉B∩C,与假设矛盾。因此,假设不成立,即 AMBMC=Ф。