python梅森素数求完美数

在Python中，梅森素数(Mersenne prime)是指形如\(2^p - 1\)，其中\(p\)也是质数的素数。而寻找完美数(perfect number)，则是指一个正整数恰好等于其所有真因数之和的数，比如6（1+2+3=6）就是最著名的完美数。

计算梅森素数是否同时是完美数并不常见，因为梅森素数本身就是非常罕见的现象。不过，我们可以分别编写两个函数来检查一个数是否是梅森素数以及判断它的前一项\(2^{p-1}\)是否是一个完全数（如果它是，则\(2^p - 1\)就是完美数）。下面是一个简单的示例：

def is_mersenne_prime(p):
    """Check if a Mersenne candidate (2^p - 1) is prime."""
    # 实现 primality check for base cases and even numbers
    if p < 3 or (p & 1 == 0 and p > 2):
        return False
    # Use Miller-Rabin test for larger numbers
    from math import sqrt
    if p == 3:
        return True
    trial = int(sqrt(2**p - 1)) + 1
    for _ in range(trial - 1):
        witness = pow(2, (p - 1) // 2, 2**p - 1)
        if witness != 1 and witness != (2**p - 2):
            return False
    return True

def is_perfect_number(n):
    """Check if the sum of divisors of n equals n."""
    sum_of_divisors = sum(i for i in range(1, n) if n % i == 0)
    return sum_of_divisors == n

# 使用这两个函数来查找
for p in range(2, 50):  # 可以调整范围以搜索更多梅森素数
    if is_mersenne_prime(p):
        mersenne_num = 2**p - 1):  # 因为梅森素数形式是 2^p - 1
            print(f"{mersenne_num} 是一个完美数，因为它减去一后是 {mersenne_num - 1} 的完美数")