∫(1/(x⁵+1))dx
时间: 2023-09-09 20:05:22 浏览: 262
### 回答1:
我来用中文回答您的问题:
要计算这个积分 ∫(1/(x^5+1))dx,我们可以使用分部积分法。
首先,我们将被积函数拆分为两个部分,即 f(x) = 1/(x^5+1),g'(x) = dx。然后,我们将 g'(x) 积分一次,得到 g(x) = x。
接下来,我们使用分部积分公式 ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx,其中 u(x) 和 v(x) 分别是我们选定的两个函数。
将 f(x) 和 g(x) 分别作为 u(x) 和 v'(x),得到:
∫(1/(x^5+1))dx = ∫f(x)g'(x)dx
= g(x)f(x) - ∫g(x)f'(x)dx
= x/(x^5+1) - 1/5 ∫(x^4/(x^5+1))dx
最后一个积分可以通过变量代换 x^5+1 = u 来求解,得到:
-1/25 ∫(1/u)du = -1/25 ln|x^5+1| + C
因此,原始积分的解为:
∫(1/(x^5+1))dx = x/(x^5+1) + 1/25 ln|x^5+1| + C,其中 C 是任意常数。
### 回答2:
要计算∫(1/(x^5+1))dx,需要使用合适的换元法。
让u = x^5 + 1,那么du = 5x^4 dx。将x^4 dx 表示为 du/5,可简化原方程为∫(1/u) (du/5)。
经过简化,我们得到(1/5)∫(1/u)du。
∫(1/u)du 是一个常见的积分形式,它的结果是ln|u|。
所以,(1/5)∫(1/u)du = (1/5)ln|u| + C,其中C是常数。
回代u = x^5 + 1,我们有(1/5)ln|x^5 + 1| + C。
因此,∫(1/(x^5+1))dx = (1/5)ln|x^5 + 1| + C,其中C是常数。
### 回答3:
要计算∫(1/(x⁵+1))dx,我们可以使用部分分式分解的方法。
首先,我们观察到分母x⁵+1不能直接分解成(x-a)(x-b)(x-c)的形式,所以我们需要将其分解成更简单的部分。
假设x⁵+1的分解形式为A(x),则我们可以推出:
x⁵+1=A(x)(x-a)(x-b)(x-c)
对于方程中的每个根(a,b,c),我们可以得到以下等式:
x⁵+1/[(x-a)(x-b)(x-c)]=A(x)/[(x-a)(x-b)(x-c)]
我们需要找到A(x)在x=a,b,c时的值。为了简化方程,我们可以选择一些特殊的值来代入。
首先,令x=a,则等式变为:
a⁵+1/[(a-a)(a-b)(a-c)]=A(a)/[(a-a)(a-b)(a-c)]
=>1/[(a-b)(a-c)]=A(a)/[(a-b)(a-c)]
=>A(a)=1
类似地,我们也可以得到A(b)=1和A(c)=1。
综上所述,我们得到了A(x)的值为1。
现在可以进行部分分式分解,将1/(x⁵+1)分解为:
1/(x⁵+1)=(1)/[(x-a)(x-b)(x-c)]
将分解后的式子进行积分,得到:
∫(1/(x⁵+1))dx=∫[(1)/[(x-a)(x-b)(x-c)]]dx
=ln|x-a|/[(a-b)(a-c)]+ln|x-b|/[(b-a)(b-c)]+ln|x-c|/[(c-a)(c-b)]+C
其中,C为积分常数。
所以,∫(1/(x⁵+1))dx=ln|x-a|/[(a-b)(a-c)]+ln|x-b|/[(b-a)(b-c)]+ln|x-c|/[(c-a)(c-b)]+C,其中a、b、c是分母x⁵+1的根。
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