多元函数极值法求点到直线距离
时间: 2024-04-01 11:38:14 浏览: 20
首先,我们需要明确点到直线的距离公式:
设点 $P(x_0,y_0)$,直线 $Ax+By+C=0$,则点 $P$ 到直线的距离为:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
接下来,我们使用多元函数极值法来求解点到直线的最短距离。
假设我们要求点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的最短距离 $d$,则可以建立如下函数:
$$f(x,y)=\frac{(Ax+By+C)^2}{A^2+B^2}+(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$$
其中,第一项为点 $(x,y)$ 到直线的距离平方(即$d^2$),第二、三项为点 $(x,y)$ 到点 $(x_0,y_0)$ 的距离平方。
接下来,我们需要求函数 $f(x,y)$ 的极小值。为了方便计算,我们对函数 $f(x,y)$ 求偏导数:
$$\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial x}=2\frac{A(Ax+By+C)+(x-x_0)}{A^2+B^2}\\
\frac{\partial f}{\partial y}=2\frac{B(Ax+By+C)+(y-y_0)}{A^2+B^2}
\end{cases}$$
令偏导数为零,得到:
$$\begin{cases}
A(Ax+By+C)+(x-x_0)=0\\
B(Ax+By+C)+(y-y_0)=0
\end{cases}$$
解得最小值点 $(x_1,y_1)$:
$$\begin{cases}
x_1=\frac{B(Bx_0-Ay_0)-AC}{A^2+B^2}\\
y_1=\frac{A(Ay_0-Bx_0)-BC}{A^2+B^2}
\end{cases}$$
将求得的最小值点 $(x_1,y_1)$ 代入原函数 $f(x,y)$,得到最小值:
$$d=\sqrt{f(x_1,y_1)}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
因此,点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的最短距离为 $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
相关推荐
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)