用梯度下降算法求解无约束非线性规划问题：minf(x) = (x[1]-2)^4+(x[1]-2x[2])^2,其中，X=mat(x[1],x[2]).T,要求选取初始点X[0]=mat(0,3).T,终止误差为0.1

首先，我们需要求出$f(x)$的梯度向量$\nabla f(x)$和Hessian矩阵$H(x)$：

$$
\nabla f(x) = \begin{bmatrix}4(x_1-2)^3(x_1-2x_2)+2(x_1-2x_2)^2 \\ -4(x_1-2)^2(x_1-2x_2)\end{bmatrix}
$$

$$
H(x) = \begin{bmatrix}12(x_1-2)^2+4(x_1-2x_2)+8x_2^2 & -8(x_1-2x_2) \\ -8(x_1-2x_2) & 8(x_1-2)^2\end{bmatrix}
$$

然后，我们可以使用梯度下降算法求解该问题。具体步骤如下：

1. 初始化：选择初始点$X_0=[0,3]^T$，设置迭代次数$k=0$，终止误差$\epsilon=0.1$，学习率$\alpha=0.01$。
2. 计算梯度：计算当前点$X_k$处的梯度向量$\nabla f(X_k)$。
3. 判断终止条件：如果$\|\nabla f(X_k)\|\leq\epsilon$，则停止迭代，输出当前点$X_k$作为近似最优解；否则，执行下一步。
4. 更新参数：根据梯度下降公式$X_{k+1}=X_k-\alpha\nabla f(X_k)$，更新参数$X_{k+1}$。
5. 更新迭代次数：$k=k+1$，返回第2步。

代码实现如下：

相关问题

使用拟牛顿法求解无约束非线性规划问题minf(x)=(4-x2)**3+(x1+4*x2)**2,给出起始点x0=(1,2)^T,用python代码求出最终结果

拟牛顿法是一种常用的数值优化算法，用于寻找函数的局部最小值。对于无约束非线性规划问题，我们通常会用它来迭代逼近最优点。给定的函数为 \( f(x) = (4 - x_2)^3 + (x_1 + 4x_2)^2 \)，初始点 \( x_0 = (1, 2)^T \)。

这里是一个简单的Python示例，使用了Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法，它是常用的拟牛顿法的一种。我们先导入必要的库，然后定义函数和梯度，接着使用`scipy.optimize.minimize`函数：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义目标函数
def objective_function(x):
    return (4 - x[1])**3 + (x[0] + 4 * x[1])**2

# 计算梯度
def gradient_function(x):
    grad = np.array([-2*(x[0] + 4*x[1]), -6*(4 - x[1])**2 + 8*x[0]])
    return grad

# 起始点
x0 = np.array([1, 2])

# 使用BFGS算法求解
result = minimize(objective_function, x0, method='BFGS', jac=gradient_function)

# 输出最终结果
print("最优解:", result.x)
print("最小值:", result.fun)

使用拟牛顿法求解无约束非线性规划问题minf(x)=(4-x2)**3+(x1+4*x2)**2

拟牛顿法是一种迭代优化算法，用于寻找无约束非线性函数的最小值，例如你提到的问题 min f(x) = (4 - x^2)^3 + (x_1 + 4x_2)^2。在这个函数中，目标是找到变量 x_1 和 x_2 的值，使得函数 f(x) 达到最低点。

基本步骤如下：
1. **初始化**：选择一个初始点 x^(0)，通常是随机选取或基于某种启发式策略。
2. **梯度估计**：计算函数在当前点的梯度，即 df/dx_1 和 df/dx_2，这对应于两个偏导数。
3. **构建Hessian矩阵的近似**：由于在实际应用中直接计算Hessian矩阵（二阶导数矩阵）可能会很昂贵，通常会使用雅克比矩阵（Jacobian matrix）的海森矩阵（即Hessian的局部二次逼近）的近似，如BFGS或L-BFGS算法。
4. **方向搜索**：利用近似的Hessian矩阵和负梯度向量，找到一个搜索方向 d。
5. **线性搜索**：在选定的方向上沿着负梯度方向移动一定的步长 alpha，形成新的猜测点 x^(k+1) = x^(k) - alpha * d。
6. **评估并更新**：如果新点 f(x^(k+1)) 降低，则接受它作为新的近似最优解；如果不降低，可能需要调整步长或搜索方向，然后返回步骤4。