用梯度下降算法求解无约束非线性规划问题:minf(x) = (x[1]-2)^4+(x[1]-2x[2])^2,其中,X=mat(x[1],x[2]).T,要求选取初始点X[0]=mat(0,3).T,终止误差为0.1
时间: 2024-05-24 15:10:33 浏览: 13
首先,我们需要求出$f(x)$的梯度向量$\nabla f(x)$和Hessian矩阵$H(x)$:
$$
\nabla f(x) = \begin{bmatrix}4(x_1-2)^3(x_1-2x_2)+2(x_1-2x_2)^2 \\ -4(x_1-2)^2(x_1-2x_2)\end{bmatrix}
$$
$$
H(x) = \begin{bmatrix}12(x_1-2)^2+4(x_1-2x_2)+8x_2^2 & -8(x_1-2x_2) \\ -8(x_1-2x_2) & 8(x_1-2)^2\end{bmatrix}
$$
然后,我们可以使用梯度下降算法求解该问题。具体步骤如下:
1. 初始化:选择初始点$X_0=[0,3]^T$,设置迭代次数$k=0$,终止误差$\epsilon=0.1$,学习率$\alpha=0.01$。
2. 计算梯度:计算当前点$X_k$处的梯度向量$\nabla f(X_k)$。
3. 判断终止条件:如果$\|\nabla f(X_k)\|\leq\epsilon$,则停止迭代,输出当前点$X_k$作为近似最优解;否则,执行下一步。
4. 更新参数:根据梯度下降公式$X_{k+1}=X_k-\alpha\nabla f(X_k)$,更新参数$X_{k+1}$。
5. 更新迭代次数:$k=k+1$,返回第2步。
代码实现如下:
相关问题
最速下降法minf(x)=x1^2+x2^2
最速下降法是一种用于求解无约束优化问题的迭代算法,它的基本思想是不断沿着目标函数梯度的负方向更新当前解,直到达到最优解。
对于目标函数minf(x)=x1^2 x2^2,我们首先计算其梯度:
∇f(x) = [2x1, 2x2]
然后选择一个初始解x(0),比如x(0) = [1,1],设定学习率α,进行迭代更新:
x(k+1) = x(k) - α∇f(x(k))
其中,k表示迭代次数。
在每次迭代中,我们根据当前解x(k)和梯度∇f(x(k))的方向,更新下一个解x(k+1)。不断重复迭代,直到满足停止条件。
最速下降法的优点是易于实现,收敛速度较快。但同时也存在一些缺点,比如对于目标函数存在大条件数时,收敛速度会减慢,需要调整合适的学习率。
总之,通过最速下降法,我们可以逐步逼近目标函数的最优解,不断优化求解过程。最终得到的解x*是目标函数minf(x)=x1^2 x2^2的局部最优解。
用信赖域算法求解minf(x)=100(x_1^2-x_2)^2+(x_1-1)^2 ,写出相应的matlab程序
好的,用信赖域算法求解 $minf(x)=100(x_1^2-x_2)^2+(x_1-1)^2$,可以按照以下步骤进行:
1. 定义目标函数
```matlab
function f = fun(x)
f = 100*(x(1)^2 - x(2))^2 + (x(1) - 1)^2;
end
```
2. 定义目标函数的梯度
```matlab
function g = grad(x)
g = [400*x(1)*(x(1)^2 - x(2)) + 2*(x(1) - 1); -200*(x(1)^2 - x(2))];
end
```
3. 定义信赖域算法的主函数
```matlab
function main()
% 初始化
x = [0; 0]; % 初始点
delta = 1; % 初始信赖域半径
epsilon = 1e-6; % 精度
eta1 = 0.1; % eta1, eta2 为常数
eta2 = 0.9;
k = 0; % 迭代次数
maxIter = 100; % 最大迭代次数
while k < maxIter
% 计算当前点的函数值和梯度
f = fun(x);
g = grad(x);
% 判断是否满足终止条件
if norm(g) < epsilon
break;
end
% 解决子问题,得到 p_k 和相应的模型值 m_k
[p, mk] = subproblem(x, delta, f, g);
% 计算 rho_k
rho = (f - fun(x + p)) / (mk - f);
% 更新 x_k+1 和 delta_k+1
if rho > eta2
delta = min(2*delta, 1e5);
elseif rho > eta1
% do nothing
else
delta = delta / 2;
end
if rho > 0
x = x + p;
end
% 更新迭代次数
k = k + 1;
end
% 输出结果
fprintf('迭代次数:%d\n', k);
fprintf('最优解 x = [%.6f, %.6f]\n', x(1), x(2));
fprintf('最优函数值 f(x) = %.6f\n', fun(x));
end
```
4. 定义信赖域子问题的函数
```matlab
function [p, mk] = subproblem(x, delta, f, g)
% 定义子问题中的目标函数和约束条件
fun_sub = @(p) f + g'*p + 0.5*p'*hess(x)*p;
cons = @(p) norm(p) - delta;
% 求解子问题
options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'off');
[p, mk] = fmincon(fun_sub, zeros(size(x)), [], [], [], [], [], [], cons, options);
end
```
5. 定义目标函数的 Hessian 矩阵
```matlab
function H = hess(x)
H = [1200*x(1)^2 - 400*x(2) + 2, -400*x(1); -400*x(1), 200];
end
```
6. 运行主函数 `main()` 即可得到最优解和最优函数值。
完整代码如下:
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