用单纯形方法编程实现线性规划最优解
时间: 2023-08-04 14:11:06 浏览: 43
好的,下面是用Python实现单纯形方法求解线性规划的步骤:
1. 定义线性规划模型,包括目标函数和约束条件。
例如,对于一个包含两个变量x1和x2的线性规划问题,目标函数为最大化z=3x1+5x2,约束条件为2x1+x2<=10, x1+3x2<=12, x1,x2>=0,可以用如下代码定义:
```python
import numpy as np
# 定义目标函数和约束条件
c = np.array([3, 5])
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
b = np.array([10, 12])
```
2. 将约束条件转化为标准形式,即将不等式约束转化为等式约束,并引入松弛变量。
例如,对于上述线性规划问题,将约束条件转化为标准形式后,得到如下形式:
```python
# 将不等式转化为等式,并引入松弛变量
A = np.hstack((A, np.eye(A.shape[0])))
c = np.hstack((c, np.zeros(A.shape[0])))
```
3. 构造初始单纯形表格。
初始单纯形表格包括目标函数和约束条件的系数矩阵,以及松弛变量的系数矩阵和右侧常数向量。对于上述线性规划问题,初始单纯形表格如下所示:
```python
# 构造初始单纯形表格
B = np.array([[1, 0], [0, 1]])
N = np.array([[2, 1], [1, 3]])
b = np.array([10, 12])
z = np.hstack((c, np.zeros(A.shape[0])))
A = np.vstack((B, N))
```
4. 进行单纯形迭代。
单纯形迭代的过程包括选择入基变量、选择出基变量、计算新的基变量矩阵和计算新的目标函数值。具体来说,选择入基变量时,需要找到目标函数系数向量中最大的正数;选择出基变量时,需要找到基变量矩阵中对应的列中最小的非零元素所在的行。如果目标函数系数向量中没有正数,说明已经达到最优解,退出迭代。
```python
# 进行单纯形迭代
while True:
# 选择入基变量
entering = np.argmax(z[:-1])
if z[entering] <= 0:
break
# 选择出基变量
ratios = b / A[:, entering]
ratios[ratios < 0] = np.inf
leaving = np.argmin(ratios)
# 更新基变量矩阵和目标函数
B[leaving, :] = N[leaving, entering]
b[leaving] = b[leaving] / A[leaving, entering]
A[leaving, :] = A[leaving, :] / A[leaving, entering]
for i in range(A.shape[0]):
if i != leaving:
B[i, :] -= N[i, entering] * B[leaving, :]
b[i] -= N[i, entering] * b[leaving]
A[i, :] -= A[i, entering] * A[leaving, :]
z -= z[entering] * A[leaving, :]
```
5. 输出求解结果。
如果存在最优解,输出最优解和最优目标函数值;否则,输出无界解。
```python
# 输出求解结果
if np.isinf(b).any():
print("无界解")
else:
x = np.zeros(len(c))
x[:len(b)] = b
print("最优解为:", x)
print("最优目标函数值为:", -z[-1])
```
完整的代码如下所示: