有四个结点a,b,c,d,权值分别人8,6,3,5，构造哈弗曼树，并写出a,b,c,d的哈弗曼编码

哈弗曼树（Huffman Tree），又称为最优二叉树，是一种自底向上的贪心算法构建的二叉树，用于数据压缩。在这种树中，每个节点代表一个权重（这里对应给定的权值8、6、3和5），两个最轻的节点合并成一个新的节点，新的节点权重为其子节点之和。

首先，我们按节点权值从小到大排序：c(3), d(5), b(6), a(8)。

步骤如下：
1. 将c和d组合成新节点，其权值为3+5=8。
2. 新节点与b（6）相比，b更小，所以将b与新节点结合，形成新节点，权值为8+6=14。
3. 最后，将a（8）与上一步得到的新节点（14）结合，因为a较小，最终生成的哈弗曼树就是这样的：

         _______14______
        /                \
       8                   6
      / \                  / \
     a   c               b   d
      |                     |
      3                     5

哈弗曼编码通常是左分支表示0，右分支表示1，根据路径编码：
- a 的编码是 0（因为从根到a经过了0次左边）
- b 的编码是 10（从根到b先向右再向左）
- c 的编码是 110（先右再左再右）
- d 的编码是 111

所以，a、b、c、d的哈弗曼编码分别是：
1. a: 0
2. b: 10
3. c: 110
4. d: 111

相关问题

输入带权结点的数目及各结点的权值, 构造哈弗曼树及编码，并画出对应的哈夫曼树。

首先需要了解哈夫曼树的概念：哈夫曼树是一种带权路径长度最短的树，也称为最优二叉树。在哈夫曼树中，权值较大的结点离根较近，权值较小的结点离根较远。

构造哈夫曼树的步骤如下：
1. 将给定的权值按从小到大的顺序排列。
2. 取出权值最小的两个结点作为左右子树，其父节点的权值为左右子树权值之和。
3. 将新生成的父节点按权值大小插入到剩余结点中，重复步骤2，直到所有结点被构建为一棵树。

下面以输入为（6, 3, 8, 2, 9, 2）的哈夫曼树为例，具体步骤如下：

1. 将权值排序：（2, 2, 3, 6, 8, 9）
2. 取出权值最小的两个结点2和2，构建一个新的父节点4，左子树为2，右子树为2。
3. 排序后变为（3, 4, 6, 8, 9），取出3和4，构建一个新的父节点7，左子树为3，右子树为4。
4. 排序后变为（6, 7, 8, 9），取出6和7，构建一个新的父节点13，左子树为6，右子树为7。
5. 排序后变为（8, 9, 13），取出8和9，构建一个新的父节点17，左子树为8，右子树为9。
6. 排序后变为（13, 17），取出13和17，构建一个新的父节点30，左子树为13，右子树为17。

最终构建出的哈夫曼树如下所示：

       30
      /  \
     13  17
    /  \
   6    7
  / \
 2   2
    / \
   3   4

根据哈夫曼树可以得到每个结点的编码，从根节点开始遍历，向左走为0，向右走为1，最终得到的编码为：

| 权值 | 编码 |
| --- | --- |
| 2 | 00 |
| 2 | 01 |
| 3 | 100 |
| 6 | 1010 |
| 8 | 1011 |
| 9 | 110 |

因此，输入为（6, 3, 8, 2, 9, 2）的哈夫曼编码为：00 01 100 1010 1011 110。

五个叶子结点A、B、C、D、E的权值分别为7、2、4、5、9，请构造哈夫曼树，并写出每个叶子结点的哈夫曼编码

构造哈夫曼树的过程是通过贪心算法实现的，步骤如下：

1. 将所有叶子节点按照其权值（权重）大小排序：A(7), B(2), C(4), D(5), E(9)。
2. 创建一个新的空树，并将第一个节点设为左孩子，第二个节点设为右孩子，权值为两个叶子节点之和，形成一个新的内部节点，记作H1 = A + B (权值=7+2=9)。
3. 将新的内部节点H1添加到序列中，按照新顺序排列：H1(9), C(4), D(5), E(9)。
4. 再次取序列中的最小两个节点，合并为H2 = H1 + C (权值=9+4=13)，并将H2添加到序列中。
5. 继续取最小两节点，直到序列只剩下一个节点，这个节点就是哈夫曼树的根。

现在我们逐步构建哈夫曼编码：

- 初始序列：H1(9), D(5), E(9)
- 取D和E：H1 > D(0) | E(1) (D的编码为0，E的编码为1)
- 序列变为：H2(18), C(4)

- 取C和H2：H2 > C(0) | H1(1) (C的编码为0，H2的编码为1)
- 最终序列只剩下一个节点H2，即根节点

因此，哈夫曼树的结构如下：

      18
     /  \
    9   4
   / \ / \
  A  E C   D

哈夫曼编码如下：
- A: 0
- B: 00
- C: 01
- D: 10
- E: 11