A(x) = 2+3x + x² + 2x³ + x⁴ B(x) = x + 4x² + 2x⁴，用O（n^log⁡3）算法来计算A（x）×B（x）。将递归调用构造为树。，并用图形将树表示出来

首先将A(x)和B(x)扩展为多项式数组，使它们的长度为2的幂次方，即

A(x) = {2, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 0}
B(x) = {0, 1, 4, 0, 2, 0, 0, 0}

然后使用Karatsuba算法来计算它们的乘积。该算法将乘积分解为三个部分：低次项、高次项和中间项。中间项可以通过减去低次项和高次项得到。每个部分都可以使用递归调用来计算。递归调用的过程可以表示为一棵树，其中每个节点表示一个递归调用。下面是该算法的具体步骤：

1. 如果A(x)或B(x)是单项式，直接计算它们的乘积并返回。
2. 将A(x)和B(x)分别分成两个部分：低次项和高次项。例如，如果A(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3，则其低次项为a0 + a1x，高次项为a2x^2 + a3x^3。
3. 通过递归调用计算低次项的乘积P(x)和高次项的乘积Q(x)。
4. 通过递归调用计算中间项的乘积R(x)。
5. 计算乘积的低次项S0，高次项S2和中间项S1，其中S0 = P(0)、S2 = Q(0)和S1 = R(0) - S0 - S2。
6. 将S0、S1和S2组合成乘积的多项式。

下图显示了使用Karatsuba算法计算A(x)×B(x)的树形递归调用过程。每个节点表示一个递归调用，节点的标签表示该调用计算的部分（例如，“A0B0”表示计算A(x)和B(x)的低次项乘积）。节点的颜色表示该节点所属的递归层级，从根节点开始为深蓝色，向下递归颜色逐渐变浅。可以看到，该算法的时间复杂度为O(n^log3)。