描述某连续系统的微分方程为:y(t)'' +2y(t)' +y(t)= f(t)' +2f(t),若要求当输入信 号为 f (t) = e−2t(t)时,试用MATLAB绘出该系统的零状态响应y(t)波形。
时间: 2023-08-05 18:07:46 浏览: 120
为了绘制出该系统的零状态响应y(t)波形,我们需要先求出该系统的传递函数。传递函数可以通过对该系统的微分方程进行 Laplace 变换得到:
s^2 Y(s) + 2sY(s) + Y(s) = (s+2)F(s)
其中Y(s)和F(s)分别表示系统的输出和输入在 Laplace 域中的表示,s是 Laplace 变换中的复频率参数。将 F(s) = e^(-2t) / s 转换为时域中的表示,则有:
f(t) = ε(t) e^(-2t)
将 F(s) 代入传递函数,得到:
H(s) = Y(s) / F(s) = 1 / (s^2 + 2s + 1) = 1 / [(s+1)^2]
根据反演公式,我们可以得到系统的零状态响应 y(t) = L^{-1} [ Y(s) ],其中 L^{-1} 表示拉普拉斯反变换。将传递函数 H(s) 进行部分分式分解,得到:
H(s) = A / (s+1) + B / (s+1)^2
其中 A 和 B 是待定系数,可以通过求导等方法求解。最终得到:
A = 1,B = 0
将 A 和 B 代入部分分式分解,得到:
H(s) = 1 / (s+1) - 0 / (s+1)^2
根据反演公式,我们可以得到系统的零状态响应:
y(t) = L^{-1} [ 1 / (s+1) ] - L^{-1} [ 0 / (s+1)^2 ]
y(t) = e^(-t) u(t)
其中 u(t) 表示单位阶跃函数。因此,当输入信号为 f(t) = e^(-2t) ε(t) 时,该系统的零状态响应 y(t) 的波形为指数衰减函数,如下图所示:
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