坐标系绕圆环旋转公式

坐标系绕圆环旋转通常涉及到三维空间中的旋转变换，特别是当我们要描述物体在固定轴上围绕另一个旋转中心（比如圆环的中心）旋转的情况。这个过程可以使用矩阵乘法来表示，其中旋转矩阵结合平移矩阵来完成。假设我们有一个直角坐标系XYZ，原点O是圆环的中心，圆环的半径分别为R和r（外径和内径），需要绕Z轴旋转θ角度。

首先，我们需要分两步进行变换：
1. **绕Z轴旋转**：这是通过旋转矩阵来完成的，对于绕Z轴逆时针旋转θ的角度，旋转矩阵（绕Z轴正方向看）为：

\[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]

2. **绕圆环中心旋转**：如果物体还要相对于圆环中心旋转，先将坐标平移至圆环中心，然后进行旋转，最后再平移回原位置。平移矩阵T是一个加法操作，而复合平移就是先减去圆环中心的位置，再加上新的位置。

\[ T_{to\_center}(x', y', z') = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -R \\
0 & 1 & 0 & -r \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix} \]
\[ T_{back\_to\_origin}(x'', y'', z'') = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & R \\
0 & 1 & 0 & r \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
x'' \\
y'' \\
z'' \\
1
\end{bmatrix} \]

最终变换为 \( P_{new} = T_{back\_to\_origin} \cdot R_z(\theta) \cdot T_{to\_center}(P_{old}) \)，这里的\( P_{old} \)和\( P_{new} \)分别是原始和新坐标。