知道闭环系统传递函数，用直接求根法判断系统稳定性 并绘制零点图

当您说“闭环系统传递函数”时，通常指的是一阶或高阶线性系统的动态行为，该系统可以用数学模型表示为一个分式形式，其中分子是输出对输入的微分项，而分母是系统的开环增益及其特征多项式。系统稳定性是指系统在受到外部扰动后是否能回到稳态而不产生无限增长。

判断闭环系统稳定性的一种常用方法是利用“直接求根法”，也称为Routh-Hurwitz准则。这个准则基于传递函数的系数，特别是其分母（即闭环增益）的极点（系统的零点加上反馈系数）。如果系统的闭环极点都在左半平面（实部小于0），那么系统就是稳定的。

要使用直接求根法进行判断并绘制零点图，您可以按照以下步骤操作：

1. **确定传递函数**：首先，您需要写出闭环系统的传递函数，如果已知开环传递函数\( G(s) \)和反馈系数\( K \)，则闭环传递函数为\( H(s) = G(s) / (1 + KG(s)) \)。

2. **提取极点和零点**：对于闭环传递函数\( H(s) \)，它的极点是1+KG(s)=0的解，而零点就是G(s)=0的解。这些点会在复平面上形成图形。

3. **检查Routh表**：计算传递函数分母的Routh-Hurwitz表，这是由传递函数系数组成的表格，逐行检查每一列的第一个数是否始终非负。若满足条件，则系统稳定；否则不稳定。

4. **绘制零点图**：可以使用`zplane`函数来可视化零点（实轴上的点）和极点（虚轴上的点），这可以帮助直观地理解系统的稳定性。

5. **稳定性分析**：根据Routh表或零点图的结果，确认系统是否满足所有稳定性的必要条件。

具体代码示例（假设已经定义了传递函数G(s)和反馈系数K）：

% 假设G(s) = [num1 num2] / [den1 den2]
[num, den] = ... % 分别获取传递函数的分子和分母系数
K = ...; % 反馈系数

% 构造闭环传递函数H(s)
H = tf(num, [1 K*den]);

% 构建Routh表
RH_table = routh(H.num, [1 K*H.den]);

% 判断稳定性
if all(RH_table(1:end-1))
    disp('闭环系统稳定');
else
    disp('闭环系统不穩定');
end

% 绘制零点图
zplane(H);