SOR迭代方法流程图
时间: 2024-05-30 19:06:04 浏览: 11
SOR(Successive Over-Relaxation)迭代方法是一种求解线性方程组的方法,它是Jacobi迭代法的改进版本,可以加速收敛速度。其流程图如下:
1. 初始化:给定一个n阶系数矩阵A和n阶常数向量b,以及初始解向量x(0),设迭代次数为k,松弛因子为w(通常选择0<w<2)。
2. 对于每个i=1,2,...,n,计算:$$x_{i}^{(k+1)}=(1-w)x_{i}^{(k)}+\frac{w}{a_{ii}}\left(b_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right)$$
3. 重复执行步骤2直到满足收敛条件为止,常见的收敛条件有两种:
- 相邻两次迭代解之间的欧几里得距离小于某个给定的阈值
- 迭代次数达到预设的最大迭代次数
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SOR迭代法python
SOR迭代法(Successive Over-Relaxation method)是一种求解线性方程组的迭代方法,它是对Gauss-Seidel迭代法的改进。SOR迭代法的基本思想是在Gauss-Seidel迭代法的基础上,引入一个松弛因子ω,使得每次迭代时,新的解向量与旧的解向量之间有一定的比例关系,从而加快收敛速度。
SOR迭代法的迭代公式为:
$$x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)}\right)$$
其中,$x_i^{(k)}$表示第k次迭代后第i个未知量的解,$a_{ij}$表示系数矩阵中第i行第j列的元素,$b_i$表示方程组中第i个方程的常数项,$\omega$为松弛因子。
SOR迭代法的收敛性与松弛因子有关,当$0<\omega<2$时,SOR迭代法收敛。当$\omega=1$时,SOR迭代法等价于Gauss-Seidel迭代法。
以下是使用Python实现SOR迭代法的代码:
```python
import numpy as np
def sor(A, b, omega, x0, tol=1e-6, max_iter=1000):
"""
使用SOR迭代法求解线性方程组Ax=b
:param A: 系数矩阵
:param b: 常数向量
:param omega: 松弛因子
:param x0: 初始解向量
:param tol: 收敛精度
:param max_iter: 最大迭代次数
:return: 解向量
"""
n = len(b)
x = x0.copy()
for k in range(max_iter):
for i in range(n):
s1 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i))
s2 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i + 1, n))
x[i] = (1 - omega) * x[i] + omega / A[i][i] * (b[i] - s1 - s2)
if np.linalg.norm(np.dot(A, x) - b) < tol:
return x
return x
# 示例
A = np.array([[4, -1, 0, 0], [-1, 4, -1, 0], [0, -1, 4, -1], [0, 0, -1, 3]])
b = np.array([15, 10, 10, 10])
x0 = np.zeros_like(b)
omega = 1.5
x = sor(A, b, omega, x0)
print(x)
```
SOR迭代法matlab
SOR (Successive Over-Relaxation) 迭代法是一种求解线性方程组的方法,它是对 Jacobi 迭代法的改进。MATLAB 中实现 SOR 迭代法的代码如下:
```matlab
function [x, iter] = sor(A, b, x0, omega, tol, maxiter)
% SOR 迭代法求解线性方程组 Ax = b
% 输入参数:
% A: 系数矩阵
% b: 常数项列向量
% x0: 初始解列向量
% omega: 松弛因子
% tol: 相对误差容限
% maxiter: 最大迭代次数
% 输出参数:
% x: 迭代解列向量
% iter: 实际迭代次数
n = length(b);
x = x0;
iter = 0;
err = tol + 1;
while err > tol && iter < maxiter
x_old = x;
for i = 1:n
sigma = 0;
for j = 1:n
if j ~= i
sigma = sigma + A(i,j) * x(j);
end
end
x(i) = (1 - omega) * x(i) + omega * (b(i) - sigma) / A(i,i);
end
iter = iter + 1;
err = norm(x - x_old) / norm(x);
end
if iter == maxiter && err > tol
warning('SOR 迭代法没有收敛!');
end
end
```
其中,参数 omega 表示松弛因子,通常取值在 (0,2) 之间。当 omega = 1 时,SOR 迭代法退化为 Jacobi 迭代法。