∫x^2/(a^6-x^6)做倒代换t=1/x的方法如何做？结果为什么

非常抱歉之前给出的答案有误。让我们重新来计算∫x^2/(a^6-x^6)在做倒代换t=1/x时的过程。

我们首先进行倒代换t=1/x，那么x=1/t。我们需要重新表示被积函数以及微元。

被积函数 x^2/(a^6-x^6) 变为 (1/t)^2 / (a^6 - (1/t)^6) = 1/(t^2 * (a^6 - 1/t^6))

接下来，我们需要计算 dt/dx 和 dx/dt。

dt/dx = -1/x^2 = -t^2
dx/dt = -1/t^2 = -x^2

然后，我们将 x 用 t 表示，即 x = 1/t。将这些代入被积函数中，得到新的被积函数：

1/(t^2 * (a^6 - 1/t^6)) = 1/(t^2 * (a^6 - t^6))

此时，我们还需要替换积分的微元 dx。由于 dx = -1/t^2 dt，所以有 dt = -t^2 dx。

将这些代入原积分式中，得到新的被积函数和微元：

∫x^2/(a^6-x^6) dx = ∫(1/(t^2 * (a^6 - t^6))) (-t^2) dt = -∫(1/(a^6 - t^6)) dt

这样，我们完成了倒代换 t = 1/x，并得到新的被积函数 -1/(a^6 - t^6)。

请注意，这个结果是一个等价的积分形式，并不一定会简化计算。具体的计算方法可能需要使用其他的积分技巧。

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∫x^2/(a^6-x^6)做倒代换t=1/x结果为什么

当我们进行倒代换t=1/x时，我们需要重新表示被积函数以及微元。首先，我们计算dt/dx和dx/dt：

dt/dx = -1/x^2
dx/dt = -1/t^2

然后，我们将x用t表示，即x=1/t。将这些代入被积函数中，得到：

x^2 = (1/t)^2 = 1/t^2

(a^6 - x^6) = (a^6 - (1/t)^6) = (a^6 - 1/t^6)

因此，被积函数变为：

x^2/(a^6 - x^6) = 1/t^2 / (a^6 - 1/t^6) = 1 / (t^2 * (a^6 - 1/t^6))

接下来，我们还需要替换积分的微元dx。由于dx = -1/t^2 dt，所以有：

dx = -1/t^2 dt

将这些代入原积分式中，得到新的被积函数和微元：

∫x^2/(a^6-x^6) dx = ∫(1 / (t^2 * (a^6 - 1/t^6))) (-1/t^2) dt

简化后得到：

∫(1 / (t^4 * (a^6 - 1/t^6))) dt

这样，我们就完成了倒代换t=1/x，并得到了新的被积函数。请注意，这里的结果与你之前提到的答案不同。

∫（cos^5x/sin^5x）dx

可以使用三角代换解决该积分。令t=sin(x)，则dt/dx=cos(x)，cos(x)=sqrt(1-sin^2(x))=sqrt(1-t^2)。将cos(x)和dx用t表示，有：

∫（cos^5x/sin^5x）dx = ∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx
令t=sin(x)，则有：
∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx = ∫(1-t^2)^2/t^4 dt
展开，得到：
∫(1-t^2)^2/t^4 dt = ∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt
将分式拆分，得到：
∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt = ∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt
对每一项进行积分，得到：
∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt = -1/t^3 + 2/t + C
将t=sin(x)代入，得到最终结果：
∫（cos^5x/sin^5x）dx = -cos^(-3)(x)/sin(x) + 2sin(x) + C