罚函数法解基追踪问题代码实现
时间: 2023-09-17 21:13:36 浏览: 53
基追踪问题是指给定一个矩阵$A$和向量$b$,求解线性方程组$Ax=b$的解$x$,其中$A$是一个$m \times n$的矩阵,$m$和$n$都很大,且$m>n$。基追踪问题的求解可以使用罚函数法,具体步骤如下:
1. 初始化$x_0$和$\lambda_0$,设$u_0=A^Tb$,$r_0=A(x_0-\lambda_0u_0)-b$,$k=0$。
2. 令$y_k=x_k-\lambda_k^{-1}u_k$,求解最小二乘问题$\min_{z \in \mathbb{R}^n} \|Az-b\|_2^2$,得到$z_k$。
3. 令$x_{k+1}=(1-\alpha_k)y_k+\alpha_kz_k$,其中$\alpha_k=\min\{1, \frac{\gamma_k r_k^T(y_k-z_k)}{\|y_k-z_k\|_2^2}\}$。
4. 令$u_{k+1}=u_k+\tau_k(Ax_{k+1}-b)$,$\lambda_{k+1}=\min\{\mu \lambda_k, \frac{1}{\|u_{k+1}\|_2}\}$。
5. 如果满足停机准则,则输出$x_{k+1}$,否则令$k=k+1$,返回步骤2。
下面是基追踪问题的代码实现:
```python
import numpy as np
def basis_pursuit(A, b, mu=1e-6, gamma=1.5, tau=0.5, max_iter=1000, eps=1e-6):
m, n = A.shape
x = np.zeros((n, 1))
lmd = np.max(np.abs(A.T @ b))
u = A.T @ b
r = A @ x - b
k = 0
while k < max_iter:
y = x - lmd**(-1) * u
z = np.linalg.lstsq(A, b)[0]
alpha = min(1, gamma * np.dot(r.T, y - z) / np.linalg.norm(y - z)**2)
x_new = (1 - alpha) * y + alpha * z
u = u + tau * (A @ x_new - b)
lmd = min(mu * lmd, 1 / np.linalg.norm(u))
r = A @ x_new - b
if np.linalg.norm(r) < eps:
return x_new
x = x_new
k += 1
return x
```
其中,$A$和$b$分别为系数矩阵和右端向量,$\mu$、$\gamma$、$\tau$、$max\_iter$和$eps$分别为罚函数法的参数和停机准则的精度。函数的返回值为基追踪问题的解$x$。
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