给出两个正整数x和y,最大公因子(GCD)是能够同时被两个正整数整除的最大数。要求使用两种不同时间/空间复杂度的方法设计函数,求出x和y的最大公因子。

最大公因子（GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。最著名的求解最大公因子的算法是欧几里得算法，这个算法有两种实现方式，分别为辗转相除法和扩展欧几里得算法。

1. 辗转相除法（欧几里得算法）：
这是最常见的方法，其基本思想是利用这样一个性质：两个正整数a和b（a > b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和较小数b的最大公约数。因此，可以递归或者迭代地进行计算，直到余数为0，最后的非零除数即为两数的最大公约数。时间复杂度为O(log min(a, b))，空间复杂度为O(1)。

实现函数代码示例（Python）：

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

2. 扩展欧几里得算法：
扩展欧几里得算法除了可以求出最大公约数外，还可以求出系数x和y（a*x + b*y = gcd(a, b)），用于求解数论中的一些问题，如模逆元等。这个算法的复杂度也是O(log min(a, b))，空间复杂度为O(1)。

实现函数代码示例（Python）：

def extended_gcd(a, b):
    if a == 0:
        return b, 0, 1
    else:
        gcd, x, y = extended_gcd(b % a, a)
        return gcd, y - (b // a) * x, x

# 使用上面的函数来得到最大公因子
def gcd_extended(a, b):
    gcd, _, _ = extended_gcd(a, b)
    return gcd