|x1 - 2|+|x2| >= 3是线性的吗？如何证明？

要判断一个不等式是否是线性的，我们需要检查其是否满足线性性质，即是否满足加法和乘法运算的封闭性。

给定不等式 |x1 - 2| |x2| >= 3，我们可以通过将其转化为等价的形式来判断其是否是线性的。首先，我们可以将绝对值表达式进行分情况讨论：

当 x1 - 2 >= 0 时，|x1 - 2| = x1 - 2。
当 x1 - 2 < 0 时，|x1 - 2| = -(x1 - 2) = 2 - x1。

因此，我们可以将不等式转化为以下两种情况：

1. 当 x1 - 2 >= 0 时，不等式变为 (x1 - 2) |x2| >= 3。
2. 当 x1 - 2 < 0 时，不等式变为 (2 - x1) |x2| >= 3。

考虑第一种情况，我们可以继续将不等式展开：

x1 |x2| - 2 |x2| >= 3。

现在我们可以看到这个不等式包含了一个乘法运算（x1 |x2|），因为乘法运算不满足封闭性，所以这个不等式不是线性的。

因此，原始的不等式 |x1 - 2| |x2| >= 3 也不是线性的。

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|x1 - 2| + |x2| >= 3是线性的吗？如何证明？

|x1 - 2| |x2| >= 3不是线性的。我们可以通过证明其不满足线性性质的定义来说明这一点。

要证明一个不等式是否是线性的，我们需要验证其是否满足以下两个条件：
1. 齐次性：如果不等式中的所有变量都乘以同一个常数，并不会改变不等式的关系。
2. 叠加性：如果不等式中的两个解满足不等式，那么它们的线性组合也满足不等式。

对于给定的不等式|x1 - 2| |x2| >= 3，让我们考虑以下情况：
. 当 x1 - 2 >= 0 且 x2 >= 0 时，不等式可以简化为 (x1 - 2) * x2 >= 3。这是一个可行的情况。
2. 当 x1 - 2 < 0 且 x2 >= 0 时，不等式可以简化为 -(x1 - 2) * x2 >= 3。这是一个可行的情况。
3. 当 x1 - 2 >= 0 且 x2 < 0 时，不等式可以简化为 (x1 - 2) * (-x2) >= 3，即 -(x1 - 2) * x2 >= 3。这也是一个可行的情况。
4. 当 x1 - 2 < 0 且 x2 < 0 时，不等式可以简化为 -(x1 - 2) * (-x2) >= 3，即 (x1 - 2) * x2 >= 3。这也是一个可行的情况。

根据以上四种情况的分析，我们可以看出，不等式在齐次性和叠加性方面不满足线性性质。因此，|x1 - 2| |x2| >= 3不是线性的。

min |x1| + 2|x2|+3|x3|+ 4|x4| x1 - x2 -x3+x4=0 x1-x2+x3-3x4=1 x1-x2 - 2x3+3x4=-0.5写出上面模型的lingo程序并求解

Lingo是一款用于建立线性、整数和非线性优化模型的语言。对于给定的问题，我们有绝对值约束以及线性方程组，可以将其转化为标准形式。首先，我们需要定义变量、目标函数、约束条件，并设置适当的模型类型。以下是将该问题转换成Lingo程序的一个示例：

* 定义变量 (x1, x2, x3, x4) 及它们的上下界（这里假设所有变量都在实数范围内）
var x1 >= -inf <= inf;
var x2 >= -inf <= inf;
var x3 >= -inf <= inf;
var x4 >= -inf <= inf;

* 目标函数（最小化绝对值之和）
minimize obj = abs(x1) + 2*abs(x2) + 3*abs(x3) + 4*abs(x4);

* 线性方程组
eq1: x1 - x2 - x3 + x4 = 0;   // 第一个方程
eq2: x1 - x2 + x3 - 3*x4 = 1;  // 第二个方程
eq3: x1 - x2 - 2*x3 + 3*x4 = -.5; // 第三个方程

* 求解模型
solve;