求\left( \sum_{n=1}^{k}{\sum_{i=1}^{n}{\varphi\left( i \right)}}*⌊n/i⌋
时间: 2023-08-11 20:00:57 浏览: 50
我理解你的问题是求解以下表达式的值:
\[ \left( \sum_{n=1}^{k}{\sum_{i=1}^{n}{\varphi(i)}} \right) \times \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor \]
其中,\( \varphi(i) \) 表示欧拉函数,\( k \) 和 \( n \) 是整数变量。
首先,我们来解释一下欧拉函数(Euler's totient function)的含义。对于正整数 \( i \),欧拉函数 \( \varphi(i) \) 表示小于等于 \( i \) 且与 \( i \) 互质的正整数的个数。
现在,我们可以按照题目给出的表达式进行计算。请问在这个计算过程中,\( n \) 和 \( i \) 是独立的变量吗?也就是说,\( n \) 的取值范围是从 1 到 \( k \) ,而 \( i \) 的取值范围是从 1 到 \( n \) 吗?
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把NMI = \frac{-2 \cdot \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)}{\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right) + \sum_{j=1}^K \frac{n_j}{n} \log\left(\frac{n_j}{n}\right)}转换成普通数学公式
将NMI的计算公式转换成普通数学公式:
NMI = \frac{-2 \cdot \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)}{\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right) + \sum_{j=1}^K \frac{n_j}{n} \log\left(\frac{n_j}{n}\right)}
可以进一步简化为:
NMI = \frac{2 \cdot I(C, K)}{H(C) + H(K)}
其中,
- I(C, K) 表示互信息(Mutual Information)的计算,定义为:I(C, K) = \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)
- H(C) 表示聚类结果的熵(Entropy),定义为:H(C) = -\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right)
- H(K) 表示真实标签的熵(Entropy),定义为:H(K) = -\sum_{j=1}^K \frac{n_j}{n} \log\left(\frac{n_j}{n}\right)
通过计算互信息、聚类结果的熵和真实标签的熵,可以得到NMI的值。
$$ f_1=\beta C_2\sum_{k=1}^K{\sum_{j=1}^J{\left( \frac{V_{kj}t_k}{2} \right)}} \\ f_2=\alpha C_1L\sum_{k=1}^K{\frac{1}{t_k}} $$python numpy表示
可以使用NumPy来进行表示,代码如下所示:
```python
import numpy as np
# 数据
K = 10
J = 5
V = np.random.rand(K, J)
t = np.random.rand(K)
C1 = 1.5
C2 = 2.0
L = 3.0
alpha = 0.8
beta = 0.6
# 计算f1
f1 = beta * C2 * np.sum(V * t.reshape(-1, 1) / 2)
# 计算f2
f2 = alpha * C1 * L * np.sum(1 / t)
print("f1 =", f1)
print("f2 =", f2)
```
其中,`np.random.rand(K, J)`生成一个大小为`(K, J)`的随机矩阵,`t.reshape(-1, 1)`将`t`转换为一个列向量,`*`表示矩阵对应元素相乘,`np.sum()`表示对矩阵中所有元素求和。