已知公式: π /2=1+1/3+1/3* 2/5+1/3*2/5*3/7+.., 用c语言编程求π的值。从键盘输入π小数部分的有效位数n,要求所得π值误差小于10的负n次方.

### 回答1：
以下是使用C语言编写的程序，实现求π的值：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double pi(int n) {
    double sum = 1.0;
    double item = 1.0;
    double term;
    int i;

    for (i = 1; i <= n; i++) {
        term = (double)(2 * i - 1) / (2 * i + 1) * item;
        sum += term;
        item = term;
    }

    return 2 * sum;
}

int main() {
    int n;
    double p, q, diff;

    printf("Please enter the number of decimal places of Pi: ");
    scanf("%d", &n);

    p = pi(n);
    q = M_PI;

    diff = fabs(p - q);

    if (diff < pow(10, -n)) {
        printf("Pi is: %.15f\n", p);
    } else {
        printf("The error is too large.\n");
    }

    return 0;
}

程序中的 `pi` 函数使用公式计算π的值，其中 `n` 表示小数部分的有效位数。程序通过循环计算每一项的值，并将它们加入总和中。变量 `item` 存储上一项的值，以便计算下一项。函数返回的值需要乘以2，因为公式中只给出了 π/2 的值。

在主函数中，程序提示用户输入小数部分的有效位数。然后，程序计算π的值并与 `math.h` 中定义的常量 `M_PI` 进行比较。如果所得的误差小于10的负n次方，则输出π的值。否则，程序输出错误消息。

### 回答2：
根据已知公式，我们可以看出π的计算与分子部分的乘积关系较为明显。我们可以使用循环来逐步计算分子部分的乘积，并将其累加得到π的值。

首先，从键盘输入π小数部分的有效位数n。然后，我们初始化π的值为3.0，并设置误差项的初始值为1.0。接下来，我们使用一个循环来计算分子部分的乘积，并将其累加到π的值中，直到误差项小于10的负n次方。

具体的C语言代码如下所示：

#include <stdio.h>

int main() {
    int n, i;
    double pi = 3.0;
    double error = 1.0;

    printf("请输入π的小数部分有效位数n：");
    scanf("%d", &n);

    for (i = 1; error > pow(10, -n); i++) {
        double denominator = 2 * i - 1;
        double numerator = (i % 2 == 0) ? -1.0 : 1.0;
        pi += numerator / denominator;
        error = numerator / denominator;
    }

    printf("π的近似值为：%.15f\n", pi);

    return 0;
}

在程序中，我们使用了math.h头文件中的pow函数来计算10的负n次方。此外，由于π是一个无理数，无法完全表示为一个有限的小数，因此我们只能通过计算得到π的近似值。

运行程序时，我们需要输入π的小数部分的有效位数n，并且保证n的值不会过大，以免程序运行时间过长。

### 回答3：
请注意，在数学上，已知公式(π /2=1 1/3 1/3* 2/5 1/3*2/5*3/7 ..)中，等号右边的数列是一个部分和逼近 π/2 的序列。因此，我们可以通过计算这个序列的和来逼近 π 的值。

为了编程实现这个逼近过程，我们可以使用以下算法：

1. 从键盘输入π小数部分的有效位数 n。
2. 初始化变量 sum 和 term，分别用来表示数列的部分和和每一项的值。
3. 初始化变量 sign 为 1，用于计算每一项的符号。
4. 使用循环逐项计算数列的部分和。循环条件为 term 的绝对值大于等于 10 的负 n 次方。
- 计算每一项的值 term = term * (i/ (2*i + 1)), 其中 i 表示每一项的索引（从 0 开始）。
- 将每一项的值加到部分和上 sum = sum + sign * term。
- 更新符号变量 sign = -sign。
5. 通过乘以 2 / π 来将部分和转换为 π 的近似值。
6. 输出 π 的近似值。

下面是使用 C 语言编写的代码实现：

#include <stdio.h>

int main() {
  int n;
  double sum = 0.0, term = 1.0, sign = 1.0;

  // 从键盘输入π小数部分的有效位数 n
  printf("请输入π小数部分的有效位数：");
  scanf("%d", &n);

  // 计算部分和
  for (int i = 0; fabs(term) >= pow(10, -n); i++) {
    term = term * (i / (2 * i + 1));
    sum = sum + sign * term;
    sign = -sign;
  }
  
  // 转换为π的近似值
  double pi = 2 / sum;

  // 输出π的近似值
  printf("π的近似值为：%.15f\n", pi);

  return 0;
}

请注意，由于计算机中浮点数的存储和运算精度限制，我们不能完全保证所得π值的精确性。但是，根据题目要求，所得π值的误差应小于等于 10 的负 n 次方。