a>0,b>0时，求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值

### 回答1：
设 $x=\frac{b+2}{\sqrt{a}}$，$y=\frac{a+2}{\sqrt{b}}$，则 $b=x^2-2x+4$，$a=y^2-2y+4$。

代入原式得：$\frac{(x^2-2x+4)^2}{a}+\frac{(y^2-2y+4)^2}{b}=(x^2-2x+4)^2\frac{b}{(b+2)^2}+(y^2-2y+4)^2\frac{a}{(a+2)^2}$

由均值不等式，$(x^2-2x+4)^2\frac{b}{(b+2)^2}+(y^2-2y+4)^2\frac{a}{(a+2)^2}\geq \frac{[(x^2-2x+4)\sqrt{b}+(y^2-2y+4)\sqrt{a}]^2}{(b+2)^2+(a+2)^2}$

又因为 $b=x^2-2x+4$，$a=y^2-2y+4$，所以

$[(x^2-2x+4)\sqrt{b}+(y^2-2y+4)\sqrt{a}]^2=(x^2-2x+4)^2b+(y^2-2y+4)^2a+2(x^2-2x+4)(y^2-2y+4)\sqrt{ab}$

代入上面的式子，得到：

$\frac{(x^2-2x+4)^2}{a}+\frac{(y^2-2y+4)^2}{b}\geq \frac{(x^2-2x+4)^2b+(y^2-2y+4)^2a+2(x^2-2x+4)(y^2-2y+4)\sqrt{ab}}{(b+2)^2+(a+2)^2}$

$=\frac{x^4+y^4+4}{(x-1)^2+(y-1)^2+4\sqrt{ab}}$

因为 $x$，$y$ 都大于 $0$，所以分母最小值为 $4$，即当 $(x-1)^2+(y-1)^2=4\sqrt{ab}$ 时，分母取到最小值。

所以 $\frac{(x^2-2x+4)^2}{a}+\frac{(y^2-2y+4)^2}{b}\geq \frac{x^4+y^4+4}{4}$

当且仅当 $x=y=2$ 时，取到最小值 $\frac{17}{2}$。

所以 $\min \left(\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b}\right)=\frac{17}{2}$，当且仅当 $a=b=4$ 时，取到最小值。

### 回答2：
首先，我们可以对给定的式子进行简化。

将(b^2)^2/a × (a^2)^2/b写成分子和分母的形式，分别为(b^2)^2 × (a^2)^2 / (a × b)。

接下来，我们可以使用乘法的交换律来重新排列式子，得到(a^2)^2 × (b^2)^2 / (a × b)。

对于分子和分母中对指数的平方进行处理，得到a^4 × b^4 / (a × b)。

进一步简化，得到a^3 × b^3。

为了找到该表达式的最小值，我们可以使用数学分析方法。由于a和b均为正数，所以a^3和b^3也为正数。

根据乘积为最小值的条件，我们可以让a^3和b^3尽可能接近0，但又不能等于0。

因此，当a和b趋近于0时，a^3 × b^3的值也会趋近于0。

所以，当a和b为正数时，表达式(a^2)^2 × (b^2)^2 / (a × b)的最小值为0。

### 回答3：
首先，我们可以将题目给出的表达式稍作变换：
\(\frac{{(b^2)^2}}{{a(a^2)^2}}\)
可以进一步简化为：
\(\frac{{b^4}}{{a^3}}\)
要求表达式的最小值，即要找到最小的\(b^4\)和最大的\(a^3\)之间的比值。
根据题目条件，\(a>0\)和\(b>0\)，我们也可以假设\(a\)和\(b\)为正实数。

由于\(b>0\)，所以\(b^4\)的值一定大于等于0。而\(a>0\)，所以\(a^3\)的值也大于等于0。
由此可知，\(b^4\)和\(a^3\)是非负数，且我们可以使用AM-GM不等式来求解。

根据AM-GM不等式，对于\(n\)个非负实数的乘积，其取值范围的最大值恰好在这些实数相等时取到。
令\(n=7\)，即对于7个非负数之积：
\(\frac{{b^4}}{{a^3}}=\underbrace{\frac{b^4}{a}\cdot\frac{b^4}{a}\cdot\frac{b^4}{a}\cdot\frac{b^4}{a}\cdot\frac{b^4}{a}\cdot\frac{b^4}{a}\cdot\frac{b^4}{a}}_{\text{共7个}}\)
根据AM-GM不等式，上述7个因子的乘积的最大值等于这7个因子的和除以7的7次方。

因此，我们可以得到：
\(\frac{{b^4}}{{a^3}} \geq \frac{{7\left(\frac{b^4}{a}+\frac{b^4}{a}+\frac{b^4}{a}+\frac{b^4}{a}+\frac{b^4}{a}+\frac{b^4}{a}+\frac{b^4}{a}\right)}}{{7^7}}\)

简化上式得到：
\(\frac{{b^4}}{{a^3}} \geq \frac{{b^4}}{{a}}\cdot\frac{7}{7^7}\cdot\frac{{b^4+a+b^4+a+b^4+a+b^4}}{{a}}\)

进一步简化得到：
\(\frac{{b^4}}{{a^3}} \geq \frac{{4b^4+3a}}{{7^8a}}\)

我们可以看出，当\(b\)取任意正实数并且\(a\)取正实数0.142857倍的时候，上述不等式取等号。

因此，根据上述推导，表达式\(\frac{{b^4}}{{a^3}}\)的最小值是\(0.142857\)。