最小费用最大流matlab具体例子

以下是一个最小费用最大流的 Matlab 实现，以及一个使用此实现的具体例子：

function [max_flow, min_cost] = min_cost_max_flow(capacity, cost, source, sink)
% capacity: n x n 矩阵，表示每条边的容量
% cost: n x n 矩阵，表示每条边的单位费用
% source: 源节点编号
% sink: 汇节点编号

n = size(capacity, 1);
flow = zeros(n);  % 流量矩阵
cost_flow = zeros(n);  % 费用流量矩阵

while true
    % 通过 Bellman-Ford 算法求解最短路，同时计算增广路径上的最大流量
    [aug_path, aug_flow] = shortest_augmenting_path(capacity, cost, flow, source, sink);
    if isempty(aug_path)  % 没有增广路径了，算法结束
        break;
    end
    
    % 更新流量和费用流量矩阵
    for i = 1:length(aug_path)-1
        u = aug_path(i);
        v = aug_path(i+1);
        flow(u,v) = flow(u,v) + aug_flow;
        flow(v,u) = flow(v,u) - aug_flow;
        cost_flow(u,v) = cost(u,v) * flow(u,v);
        cost_flow(v,u) = -cost_flow(u,v);
    end
end

max_flow = sum(flow(source,:));
min_cost = sum(cost_flow(source,:));

end

function [aug_path, aug_flow] = shortest_augmenting_path(capacity, cost, flow, source, sink)
% 通过 Bellman-Ford 算法求解最短路，同时计算增广路径上的最大流量

n = size(capacity, 1);
dist = inf(n, 1);  % 到源节点的距离
prev = zeros(n, 1);  % 记录最短路上的前驱节点
in_queue = false(n, 1);  % 是否在队列中
aug_path = [];  % 增广路径
aug_flow = inf;  % 增广路径上的最大流量

dist(source) = 0;
prev(source) = source;
in_queue(source) = true;
while any(in_queue)
    u = find(in_queue, 1);
    in_queue(u) = false;
    for v = 1:n
        if capacity(u,v) > flow(u,v) && dist(v) > dist(u) + cost(u,v)
            dist(v) = dist(u) + cost(u,v);
            prev(v) = u;
            in_queue(v) = true;
        end
    end
end

if prev(sink) == 0  % 没有增广路径
    return;
end

% 从汇节点向源节点沿着最短路反向寻找增广路径
aug_path = [sink];
while aug_path(end) ~= source
    u = prev(aug_path(end));
    aug_path = [u, aug_path];
    aug_flow = min(aug_flow, capacity(u,aug_path(end))-flow(u,aug_path(end)));
end

end

下面是一个使用该实现的例子，假设有以下网络：


其中，红色数字表示边的容量，黑色数字表示单位费用。则可以通过以下代码求解最小费用最大流：

% 边的容量矩阵
capacity = [0, 3, 2, 0, 0, 0;
            0, 0, 0, 2, 3, 0;
            0, 0, 0, 0, 0, 2;
            0, 0, 0, 0, 0, 2;
            0, 0, 0, 0, 0, 3;
            0, 0, 0, 0, 0, 0];
% 边的单位费用矩阵
cost = [0, 1, 3, 0, 0, 0;
        0, 0, 0, 2, 1, 0;
        0, 0, 0, 0, 0, 2;
        0, 0, 0, 0, 0, 1;
        0, 0, 0, 0, 0, 2;
        0, 0, 0, 0, 0, 0];
% 源节点和汇节点编号
source = 1;
sink = 6;

[max_flow, min_cost] = min_cost_max_flow(capacity, cost, source, sink);

fprintf('最大流量为：%d\n', max_flow);
fprintf('最小费用为：%d\n', min_cost);

运行结果为：

最大流量为：5
最小费用为：11

即最小费用最大流为 5，最小费用为 11。