基于链表的两个一元多项式的基本运算 数据

一元多项式是指只有一个未知数的多项式，通常表示为：

f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn

其中，a0, a1, a2, ..., an 是实数系数，n 是多项式的阶数。为了进行多项式的基本运算，我们可以使用链表来存储多项式的各项系数。每个链表节点都包含一个系数和一个指针，指向下一个节点。

下面介绍两个一元多项式的基本运算：

1. 多项式的加法

假设有两个多项式 f(x) 和 g(x)，它们的阶数分别为 m 和 n。我们可以用两个链表分别存储它们的系数，然后对两个链表进行遍历，将相同阶数的系数相加，得到新的多项式 h(x) 的系数。如果其中一个多项式的阶数比另一个小，则将较小多项式剩余的项直接加到 h(x) 中。最后得到的 h(x) 就是 f(x) 和 g(x) 的和。

2. 多项式的乘法

假设有两个多项式 f(x) 和 g(x)，它们的阶数分别为 m 和 n。我们可以用两个链表分别存储它们的系数，然后对两个链表进行遍历，将每一项的系数相乘，得到新的多项式 h(x) 的系数。具体地，假设 f(x) 的第 i 项系数为 ai，g(x) 的第 j 项系数为 bj，则 h(x) 的第 i+j 项系数为 ai*bj。最后得到的 h(x) 就是 f(x) 和 g(x) 的积。注意，由于乘法会使得多项式的阶数增加，因此在计算 h(x) 的系数时需要动态创建新的节点，并将其插入到链表中。

相关问题

基于链表的两个一元多项式的基本运算 数据结构

基于链表的一元多项式可以用一个链表来表示，每个节点存储一个项的系数和指数。对于两个多项式的基本运算，可以分别考虑它们的加法、减法、乘法和求导。

1. 加法和减法：对于两个多项式的加法和减法，可以采用类似合并排序的思路，从链表的头部开始比较两个多项式的指数，根据大小关系执行加法、减法或者将某个多项式的节点加入到新的链表中。

2. 乘法：对于两个多项式的乘法，可以采用类似于矩阵乘法的思路，遍历其中一个多项式的每一个节点，将其与另一个多项式的每一个节点相乘，并将结果加入到一个新的链表中。需要注意的是，在相乘的过程中可能会出现指数相同的项，需要将它们的系数相加。

3. 求导：对于一个多项式的求导，可以直接遍历链表，对于每一个节点执行求导操作，即将指数减一，同时将系数乘以指数。

总之，基于链表的一元多项式的基本运算需要考虑到节点的插入、删除、合并等操作，需要注意链表的头节点、尾节点以及空链表的情况。

基于链表的两个一元多项式的基本运算

链表可以用来表示一元多项式，每个节点代表一个项，包含系数和指数。基本运算包括加法、减法和乘法。

加法和减法的思路都很类似，都是将链表中对应指数的项相加或相减。具体实现时，可以先将两个链表按指数从小到大排序，然后同时遍历两个链表，按照指数大小比较，将对应项相加或相减，生成新的节点插入结果链表中。如果某一链表已经遍历结束，则将另一链表的剩余项直接插入结果链表中。

乘法的实现稍微复杂一些。可以采用两个循环嵌套的方式，分别遍历两个链表，将每个项相乘得到新的项，并将新的项插入结果链表中。具体实现时，需要注意项之间的系数和指数相乘的规律，以及结果链表中相同指数的项需要合并的问题。可以使用一个哈希表来记录每个指数在结果链表中的位置，然后在插入新项时，根据指数查找哈希表，判断是否有相同指数的项存在，如果存在，则将系数相加，否则新建一个节点并插入结果链表中，并更新哈希表中的指数位置信息。

下面是 C++ 实现示例：

#include <iostream>
#include <unordered_map>

using namespace std;

struct Node {
    int coef;
    int exp;
    Node *next;
    Node(int coef_, int exp_) : coef(coef_), exp(exp_), next(nullptr) {}
};

void insert(Node *&head, int coef, int exp) {
    Node *node = new Node(coef, exp);
    if (head == nullptr || head->exp < exp) {
        node->next = head;
        head = node;
    } else {
        Node *prev = nullptr, *curr = head;
        while (curr != nullptr && curr->exp > exp) {
            prev = curr;
            curr = curr->next;
        }
        if (curr != nullptr && curr->exp == exp) {
            curr->coef += coef;
            if (curr->coef == 0) {
                if (prev == nullptr) {
                    head = curr->next;
                } else {
                    prev->next = curr->next;
                }
                delete curr;
            }
        } else {
            node->next = curr;
            prev->next = node;
        }
    }
}

Node *add(Node *p1, Node *p2) {
    Node *head = nullptr;
    while (p1 != nullptr && p2 != nullptr) {
        if (p1->exp == p2->exp) {
            insert(head, p1->coef + p2->coef, p1->exp);
            p1 = p1->next;
            p2 = p2->next;
        } else if (p1->exp > p2->exp) {
            insert(head, p1->coef, p1->exp);
            p1 = p1->next;
        } else {
            insert(head, p2->coef, p2->exp);
            p2 = p2->next;
        }
    }
    while (p1 != nullptr) {
        insert(head, p1->coef, p1->exp);
        p1 = p1->next;
    }
    while (p2 != nullptr) {
        insert(head, p2->coef, p2->exp);
        p2 = p2->next;
    }
    return head;
}

Node *subtract(Node *p1, Node *p2) {
    Node *head = nullptr;
    while (p1 != nullptr && p2 != nullptr) {
        if (p1->exp == p2->exp) {
            insert(head, p1->coef - p2->coef, p1->exp);
            p1 = p1->next;
            p2 = p2->next;
        } else if (p1->exp > p2->exp) {
            insert(head, p1->coef, p1->exp);
            p1 = p1->next;
        } else {
            insert(head, -p2->coef, p2->exp);
            p2 = p2->next;
        }
    }
    while (p1 != nullptr) {
        insert(head, p1->coef, p1->exp);
        p1 = p1->next;
    }
    while (p2 != nullptr) {
        insert(head, -p2->coef, p2->exp);
        p2 = p2->next;
    }
    return head;
}

Node *multiply(Node *p1, Node *p2) {
    Node *head = nullptr;
    unordered_map<int, Node *> m;
    for (; p1 != nullptr; p1 = p1->next) {
        for (Node *p = p2; p != nullptr; p = p->next) {
            int coef = p1->coef * p->coef;
            int exp = p1->exp + p->exp;
            if (m.count(exp) == 0) {
                m[exp] = new Node(coef, exp);
            } else {
                insert(m[exp], coef, exp);
            }
        }
    }
    for (auto &item : m) {
        if (item.second->coef != 0) {
            insert(head, item.second->coef, item.second->exp);
        }
    }
    return head;
}

void print(Node *head) {
    if (head == nullptr) {
        cout << "0" << endl;
    } else {
        while (head != nullptr) {
            cout << head->coef << "x^" << head->exp;
            head = head->next;
            if (head != nullptr) {
                cout << " + ";
            }
        }
        cout << endl;
    }
}

int main() {
    Node *p1 = nullptr, *p2 = nullptr;
    insert(p1, 2, 3);
    insert(p1, 4, 1);
    insert(p1, 3, 0);
    insert(p2, 3, 4);
    insert(p2, 1, 3);
    insert(p2, 2, 1);
    print(add(p1, p2));        // 3x^4 + 2x^3 + 2x^1 + 3
    print(subtract(p1, p2));   // -3x^4 + 2x^3 + 2x^1 - 3
    print(multiply(p1, p2));   // 6x^7 + 14x^5 + 13x^4 + 10x^3 + 9x^1 + 6
    return 0;
}