设\frac{1}{1+z^{2} } =\sum_{ n=-\infty }^{+\infty} C_{n}z^{n},|z|>1 ,则C_{0} 的值为
时间: 2023-11-01 16:44:07 浏览: 46
我们可以使用留数定理来计算 $C_0$ 的值。首先,根据题目中的条件 $|z|>1$,我们可以将分母写成 $\frac{1}{z^2(1+\frac{1}{z^2})}$。然后令 $w=\frac{1}{z^2}$,则原式变为:
$$\frac{1}{1+z^2}=\frac{w}{1+\frac{1}{w}}=\frac{w}{\frac{w+1}{w}}=w(1+w)^{-1}$$
现在我们需要计算 $w(1+w)^{-1}$ 的 Laurent 级数。注意到 $(1+w)^{-1}$ 的幂级数展开式为:
$$(1+w)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nw^n$$
因此,$w(1+w)^{-1}$ 的 Laurent 级数为:
$$w(1+w)^{-1}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n z^{-2n-1}$$
$C_0$ 的系数即为 $z^0$ 的系数,也就是 $n=-\frac{1}{2}$ 时的系数,即:
$$C_0=(-1)^{-\frac{1}{2}} z^{\frac{1}{2}}=-i\sqrt{z}$$
因此,$C_0$ 的值为 $-i\sqrt{z}$。
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$$
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$$
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$$
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$$
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$$
\operatorname{Li}(z)=-\log(1-z),\quad |z|<1.
$$
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