求\sum_{n=1}^{\infty } \frac{z^{n} }{n} 的和函数

考虑对函数 $f(z)=-\log(1-z)$ 在 $z=0$ 处进行泰勒展开，有
$$
f(z)=-\log(1-z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}.
$$
因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ 就是 $-\log(1-z)$ 的主支切割线，记为 $\operatorname{Li}(z)$，即
$$
\operatorname{Li}(z)=-\log(1-z),\quad |z|<1.
$$
因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ 的和函数为 $-\log(1-z)$ 的主支切割线。

相关问题

求\sum_{n=1}^{\infty }\frac{z^{n} }{n} 的和函数

设 $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{z^{n} }{n}$，则 $f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty }z^{n-1}=\frac{1}{1-z}$，因此 $f(z)=-\ln(1-z)+C$，其中 $C$ 是积分常数。由于当 $z=0$ 时 $f(z)=0$，因此 $C=0$，即
$$
f(z)=-\ln(1-z),\quad |z|<1.
$$
因此，$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{z^{n} }{n}=-\ln(1-z),\quad |z|<1.$

\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \frac{i^{n} }{|n|!}=()

这是一个级数求和的问题，我们可以将其拆分成两个部分来考虑。

首先，当 $n$ 为偶数时，$i^n$ 等于 $1$，因此：

$$
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{i^{2n}}{|2n|!} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n)!} = \cosh(1)
$$

其中 $\cosh(x)$ 表示双曲余弦函数。

接下来考虑当 $n$ 为奇数时，$i^n$ 等于 $i$ 或 $-i$，具体取决于 $n$ 的正负性。因此：

\begin{aligned}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{i^{2n+1}}{|2n+1|!} &= \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{i^{2n+1}}{|2n+1|!} + \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{2n+1}}{|2n+1|!} \\
&= -i\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)!} + i\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)!} \\
&= i\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)!} - \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)!}\right) \\
&= i\left(\sinh(1) - \cosh(1)\right)
\end{aligned}

其中 $\sinh(x)$ 表示双曲正弦函数。

因此，将以上两部分相加，得到：

$$
\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \frac{i^{n} }{|n|!} = \cosh(1) + i\left(\sinh(1) - \cosh(1)\right) = \sinh(1) + \cosh(1)i
$$

这就是该级数的和。