求\sum_{n=1}^{\infty } \frac{z^{n} }{n} 的和函数

考虑对函数 $f(z)=-\log(1-z)$ 在 $z=0$ 处进行泰勒展开，有
$$
f(z)=-\log(1-z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}.
$$
因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ 就是 $-\log(1-z)$ 的主支切割线，记为 $\operatorname{Li}(z)$，即
$$
\operatorname{Li}(z)=-\log(1-z),\quad |z|<1.
$$
因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ 的和函数为 $-\log(1-z)$ 的主支切割线。