一个n个顶点的有向图,保证其在任何情况下连通,其边数至少为n(n-1)+1
时间: 2024-03-07 12:51:59 浏览: 76
这是一个非常有趣的问题。这个结论可以通过归纳法来证明。
首先,当n=1时,结论显然成立。
假设当n=k时,结论也成立,即一个k个顶点的有向图,其边数至少为k(k-1)+1。
现在考虑一个k+1个顶点的有向图G。
我们可以在G中选择一个起点u和一个终点v,并将G分解成两个图G1和G2,其中G1包含所有到v的路径,G2包含所有从u出发的路径。
由于G是连通的,因此G1和G2至少有一个是非空的。不失一般性,我们假设G1非空。
我们可以将G1中所有顶点的标号减去1,然后将u和v删除,得到一个k个顶点的有向图G'。
根据归纳假设,G'中的边数至少为k(k-1)+1。
现在我们考虑G中的边数。显然,G中至少包含G1中所有边,即至少有k条边。此外,对于G2中的每个顶点,它到v的路径都可以与G1中的一条路径拼接起来,形成一条从u到该顶点的路径。因此,G2中的每个顶点都至少有一条入边,共有k+1个顶点,因此G2中至少有k+1条边。
综上所述,G中的边数至少为k(k-1)+1+k+1=(k+1)k+1,即结论在n=k+1时也成立。
因此,对于任何n个顶点的连通有向图,其边数至少为n(n-1)+1。
相关问题
n个顶点的强连通图中至少含有多少条有向边?(n>1)
对于一个强连通图,任意两个顶点之间都存在一条有向路径。因此,对于n个顶点的强连通图,每个顶点都至少可以到达另外n-1个顶点。
对于每个顶点,它可以到达的顶点数目为n-1,因此,n个顶点的强连通图中至少含有n*(n-1)条有向边。这是因为每个顶点都可以到达n-1个顶点,共计n个顶点,所以总的有向边数为n*(n-1)。
在一个具有n个顶点的有向连通图,它包含的连同分量的个数为
有向连通图的连通分量个数可以用深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)算法来求解。具体方法是对于每个未被访问过的顶点,从它开始进行一次 DFS 或 BFS,将访问到的所有顶点标记为已访问。当一次 DFS 或 BFS 结束后,如果还存在未被访问过的顶点,则从其中任意一个未被访问过的顶点开始继续进行 DFS 或 BFS,直到所有顶点都被访问过为止。
在这个过程中,每次进行 DFS 或 BFS 都会访问到一个连通分量,因此连通分量的个数就等于进行 DFS 或 BFS 的次数。因此,对于一个具有 n 个顶点的有向连通图,它包含的连通分量的个数可以用以下步骤求解:
1. 初始化连通分量个数 count 为 0。
2. 对于每个未被访问过的顶点 v,进行一次 DFS 或 BFS,并将访问到的所有顶点标记为已访问。
3. 如果还存在未被访问过的顶点,则将 count 加 1,并从其中任意一个未被访问过的顶点开始继续进行 DFS 或 BFS,直到所有顶点都被访问过为止。
4. 连通分量的个数就等于 count。
因此,对于一个具有 n 个顶点的有向连通图,它包含的连通分量的个数可以在 O(n) 的时间复杂度内求解。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![py](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083646.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)