一个n个顶点的有向图，保证其在任何情况下连通，其边数至少为n(n-1)+1

这是一个非常有趣的问题。这个结论可以通过归纳法来证明。

首先，当n=1时，结论显然成立。

假设当n=k时，结论也成立，即一个k个顶点的有向图，其边数至少为k(k-1)+1。

现在考虑一个k+1个顶点的有向图G。

我们可以在G中选择一个起点u和一个终点v，并将G分解成两个图G1和G2，其中G1包含所有到v的路径，G2包含所有从u出发的路径。

由于G是连通的，因此G1和G2至少有一个是非空的。不失一般性，我们假设G1非空。

我们可以将G1中所有顶点的标号减去1，然后将u和v删除，得到一个k个顶点的有向图G'。

根据归纳假设，G'中的边数至少为k(k-1)+1。

现在我们考虑G中的边数。显然，G中至少包含G1中所有边，即至少有k条边。此外，对于G2中的每个顶点，它到v的路径都可以与G1中的一条路径拼接起来，形成一条从u到该顶点的路径。因此，G2中的每个顶点都至少有一条入边，共有k+1个顶点，因此G2中至少有k+1条边。

综上所述，G中的边数至少为k(k-1)+1+k+1=(k+1)k+1，即结论在n=k+1时也成立。

因此，对于任何n个顶点的连通有向图，其边数至少为n(n-1)+1。

相关问题

对于一个有 n 个顶点的图:若是连通无向图，其边的个数至少为 ( );若是强连通有向图，其边的个数至少为 ( )。A.n-1,n B.n-1,n(n-1) C.n,n D.n,n(n-1)

对于一个连通无向图，其边的个数至少为 n-1。这是因为无向图中的每个顶点至少与其他一个顶点相连，所以边的个数最少为 n-1。

对于一个强连通有向图，其边的个数至少为 n(n-1)。这是因为有向图中的每对顶点之间都存在一条有向边，所以边的个数最少为 n(n-1)。

因此，答案是：A. n-1, D. n(n-1)。

有n个顶点的无向图，其连通分量个数为m，则（ ）。 A 1≤m≤n B 1≤m≤n-1 C 0≤m≤n D 0≤m≤n-1

连通无向图的性质是：n个顶点的无向图至少有n-1条边才能保证连通。因此，对于一个连通无向图，其连通分量个数m一定为1，即选项A成立。对于非连通无向图，我们可以考虑每个连通分量单独看待，每个连通分量至少有1个顶点，因此m最小为1；同时，对于n个顶点的无向图，若每个顶点都没有边相连，则m最大为n，即每个顶点都是一个连通分量。因此，选项D成立。综上，正确答案为D。