如果一个完全二叉树最底下一层为第六层(根为第一层)且该层共有8个叶结点,那么该完全二叉树共有多少个结点?
时间: 2023-05-03 20:02:42 浏览: 213
该完全二叉树共有8个叶结点,那么该完全二叉树共有多少个结点?
完全二叉树的性质是,除了最后一层,每一层的结点数都是满的,并且最后一层的结点都集中在左边。因此可以先求出最后一层的结点数。8个叶结点所在的层数为log2(8)+1=4,因为最后一层的结点数小于等于满二叉树的结点数,所以该层的结点数为2^3=8。而在前三层,每一层都是满的,因此前三层的结点数为1+2+4=7。因此整棵完全二叉树的结点数为7+8=15个。
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一颗完全二叉树的第六层(根为第一层)有八个叶结点则该完全二叉树的节点数最多为
完全二叉树的特点是除了最后一层外,其他层的节点数都达到最大值,最后一层的节点依次从左到右排列。根据题目中的信息,第六层有8个叶结点,即有8个节点在第六层,此时前面五层的节点数为满二叉树的节点数。
完全二叉树的节点数可以通过公式计算:2^h - 1,其中h为树的高度。
我们可以通过二叉树的高度h来确定节点数。由于第六层有8个叶结点,所以前五层一共有7个节点(包括根节点),即h-1=5,解得h=6。
因此,完全二叉树的节点数最多为2^6 - 1 = 63。
完全二叉树第一层为根节点,第五层有8个叶子结点求二叉树的结点个数
对于一个完全二叉树,第 $k$ 层(从上往下数)最多有 $2^{k-1}$ 个结点,因此第五层最多有 $2^4 = 16$ 个结点。又因为题目给出第五层有 $8$ 个叶子结点,所以第五层最多只有 $8$ 个结点,并且这 $8$ 个结点都是叶子结点。
设这棵完全二叉树的深度为 $h$,则它的最后一层共有 $2^{h-1}$ 个结点。又因为第五层是最后一层的一部分,所以第五层的结点数为 $2^{h-1} - 2^3 + 8$,即 $2^{h-1} + 8$。因为第五层都是叶子结点,所以它们的父节点都在第四层。第四层有 $2^{4-1} = 8$ 个结点,每个结点的左右子树分别有 $2$ 个叶子结点,因此第四层共有 $8 \times 2 = 16$ 个结点。以此类推,第三层共有 $2^2 \times 2 = 8$ 个结点,第二层共有 $2 \times 2 = 4$ 个结点,第一层只有一个根节点。
总结点数为 $1 + 4 + 8 + 16 + (2^{h-1} + 8) = 2^h + 27$,因为第五层是最后一层,所以 $h = 5$。因此这棵完全二叉树共有 $2^5 + 27 = 59$ 个结点。