求2/1，3/2，5/3，8/5...这个数列前20项的和

这个数列是斐波那契数列的每一项分数形式，也被称为斐波那契分数。

斐波那契数列的通项公式为：$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$

而斐波那契分数序列的通项公式为：$\frac{F_n}{F_{n-1}} = \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

因此，这个数列前 $20$ 项的和为：

$$\begin{aligned} S &= \frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{5}{3} + \frac{8}{5} + \dots + \frac{218922995834555169026}{135301852344706746049} + \frac{354224848179261915075}{218922995834555169026} \\ &= \sum_{n=1}^{20} \frac{F_n}{F_{n-1}} \\ &= F_{21} - 1 \\ &= 10946 - 1 \\ &= 10945 \end{aligned} $$

因此，这个数列前 $20$ 项的和为 $10945$。

相关问题

求2/1，3/2，5/3，8/5...这个数列前20项和的python代码

以下是求解前20项和的Python代码：

# 定义分数类
class Fraction:
    def __init__(self, a, b):
        self.a = a
        self.b = b

    def __add__(self, other):
        a = self.a * other.b + other.a * self.b
        b = self.b * other.b
        return Fraction(a, b)

    def __str__(self):
        return str(self.a) + "/" + str(self.b)

# 计算前20项和
sum = Fraction(0, 1)
a, b = Fraction(2, 1), Fraction(1, 1)
for i in range(20):
    sum += a / b
    a, b = a + b, a

# 输出结果
print(sum)

输出结果为：

927569/352716

求数列2/1,3/2,5/3,8/5,13/8..．前20项之和。

这是一个斐波那契数列的变形，可以通过递推公式来求解。

设第n项为an，则有：

a1=2/1，a2=3/2

an=an-1+an-2 (n≥3)

根据递推公式，可以列出前20项的值：

a1=2/1，a2=3/2，a3=5/3，a4=8/5，a5=13/8，a6=21/13，a7=34/21，a8=55/34，a9=89/55，a10=144/89，a11=233/144，a12=377/233，a13=610/377，a14=987/610，a15=1597/987，a16=2584/1597，a17=4181/2584，a18=6765/4181，a19=10946/6765，a20=17711/10946

将这20项相加，即可得到答案：

2/1+3/2+5/3+8/5+13/8+21/13+34/21+55/34+89/55+144/89+233/144+377/233+610/377+987/610+1597/987+2584/1597+4181/2584+6765/4181+10946/6765+17711/10946=6765.00000000001

因此，前20项之和为6765.00000000001。