混合整数线性规划模型定义

混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming, MILP）是一种在约束条件下求解线性目标函数的优化问题，其中部分或全部决策变量被限制为整数。MILP可以用来解决许多实际问题，如生产调度、库存管理、路线规划等。

MILP模型的一般形式如下：

$$\min_{\boldsymbol{x}} \sum_{i=1}^{n} c_i x_i$$

$$s.t. \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$$

$$\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}^{p} \times \mathbb{R}^{q}$$

其中，$\boldsymbol{x}$ 是长度为 $n$ 的决策变量向量，$c_i$ 是第 $i$ 个变量的线性系数，$\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 的系数矩阵，$\boldsymbol{b}$ 是 $m$ 维常数向量。

$\boldsymbol{x}$ 中的前 $p$ 个变量被限制为整数，后 $q$ 个变量可以取任意实数值。$s.t.$ 表示模型的约束条件，其中 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 表示等式约束条件。通常还包含不等式约束条件，如 $\boldsymbol{Cx} \leq \boldsymbol{d}$，其中 $\boldsymbol{C}$ 是 $k \times n$ 的系数矩阵，$\boldsymbol{d}$ 是 $k$ 维常数向量。

MILP问题的目标是找到一组整数和实数值，使得目标函数最小化并且满足所有约束条件。